Để chứng minh IB x IC = AF x FC = AE x BE, ta sẽ sử dụng định lí hình chiếu và định lí Euclid.

Định lí hình chiếu: Trong một tam giác vuông, đường cao chia cạnh huyền thành hai đoạn có tích bằng tích của hai đoạn còn lại.

Áp dụng định lí hình chiếu vào tam giác ABC, ta có:
AH x HB = CH x HA
AH x HC = BH x HA

Từ đó, ta có:
AH x HB + AH x HC = CH x HA + BH x HA
AH x (HB + HC) = HA x (CH + BH)
AH x BC = HA x BC
AH = HA

Do đó, ta có:
IB x IC = (IB + IA) x (IC + IA) = IA x IA + IA x IC + IA x IB + IB x IC
= IA x (IA + IC + IB) + IB x IC
= IA x BC + IB x IC

Tương tự, ta có:
AF x FC = (AF + AH) x (FC + HC) = AH x HC + AH x FC + AF x HC + AF x FC
= AH x (HC + FC) + AF x (HC + FC)
= AH x BC + AF x HC

Vì AH = HA, nên ta có:
IB x IC = IA x BC + IB x IC
AF x FC = AH x BC + AF x HC

Từ đó, ta có:
IB x IC - AF x FC = IA x BC + IB x IC - AH x BC - AF x HC
= IA x BC + IB x IC - BC x HA - AF x HC
= BC x (IA + IB - HA - AF)
= BC x (IA + IB - IA - IB)
= 0

Vậy, ta đã chứng minh được IB x IC = AF x FC.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh AF x FC = AE x BE.

Áp dụng định lí Euclid vào tam giác AEF, ta có:
AF x FC = AE x BE + EF x AF

Vì EF vuông góc với AC, nên EF vuông góc với AB.

Do đó, EF x AF = EF x AH = EF x HC

Vậy, ta có:
AF x FC = AE x BE + EF x AF
= AE x BE + EF x AH + EF x HC
= AE x BE + EF x (AH + HC)
= AE x BE + EF x BC

Vì EF vuông góc với AB, nên EF x BC = AF x FC

Vậy, ta đã chứng minh được AF x FC = AE x BE.

Từ đó, ta suy ra được IB x IC = AF x FC = AE x BE.