C=(X²-1).(x²+1).(x⁴+1).(x⁸+1).(x¹⁶+1).(x³²+1)-x⁶⁴, chứng minh đa thức sau không phục thuộc vào x

Để chứng minh rằng đa thức C không phụ thuộc vào x, ta cần chứng minh rằng C(x) = C(-x) với mọi giá trị của x.

Bước 1: Chứng minh rằng (x^n + 1) chia hết cho (x^2 + 1) nếu n là số lẻ.
Chúng ta biết rằng x^2 + 1 = (x + i)(x - i), với i là đơn vị ảo. Khi đó, ta có:
(x + i)(x - i) = x^2 - i^2 = x^2 + 1
Vì vậy, nếu n là số lẻ, ta có thể viết x^n + 1 dưới dạng (x^2 + 1) * Q(x), với Q(x) là một đa thức.

Bước 2: Chứng minh rằng (x^n + 1) chia hết cho (x^4 + 1) nếu n chia hết cho 4.
Chúng ta biết rằng x^4 + 1 = (x^2 + √2x + 1)(x^2 - √2x + 1), với √2 là căn bậc hai của 2. Khi đó, ta có:
(x^2 + √2x + 1)(x^2 - √2x + 1) = x^4 - (√2x)^2 + 1 = x^4 + 1
Vì vậy, nếu n chia hết cho 4, ta có thể viết x^n + 1 dưới dạng (x^4 + 1) * P(x), với P(x) là một đa thức.

Bước 3: Áp dụng kết quả từ bước 1 và bước 2, ta có thể viết đa thức C(x) dưới dạng:
C(x) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^16 + 1)(x^32 + 1) - x^64
= (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^16 + 1)(x^32 + 1) - (x^4)^16
= (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^16 + 1)(x^32 + 1) - (x^4 + 1)^16
= (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^16 + 1)(x^32 + 1) - (x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)
= (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^16 + 1)(x^32 + 1) - (x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)(x^4 + 1)
= (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^16 + 1)(x^32 + 1) - (x^4 + 1)^16

Bước 4: Chứng minh rằng C(x) = C(-x) với mọi giá trị của x.
Ta thấy rằng (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^16 + 1)(x^32 + 1) là một đa thức chẵn, vì mỗi một thành phần trong tích là một đa thức chẵn.
Ngoài ra, ta cũng biết rằng (x^4 + 1)^16 là một đa thức chẵn, vì mũ của x^4 là số chẵn.
Vì vậy, ta có thể thấy rằng C(x) = C(-x), với mọi giá trị của x.

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng đa thức C không phụ thuộc vào x.