Cho tam giác abc vuông tại A

Để chứng minh ai, he, mc đồng quy, ta cần chứng minh rằng các đường thẳng ai, he, mc đồng quy tại một điểm chung.

Gọi K là giao điểm của ai và he.

Ta có:
- Trong tam giác aiK, ta có ai là đường cao, nên ai vuông góc với IK.
- Trong tam giác heK, ta có he là đường cao, nên he vuông góc với IK.
Vậy ai và he vuông góc với nhau tại K.

Gọi L là giao điểm của ai và mc.

Ta có:
- Trong tam giác aiL, ta có ai là đường cao, nên ai vuông góc với IL.
- Trong tam giác mcL, ta có mc là đường cao, nên mc vuông góc với IL.
Vậy ai và mc vuông góc với nhau tại L.

Vậy ta có K và L là hai điểm chung của ai, he và mc.

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng K và L là trung điểm của mi.

Gọi N là trung điểm của AB.

Ta có:
- Trong tam giác aiN, ta có ai là đường cao, nên ai vuông góc với IN.
- Trong tam giác heN, ta có he là đường cao, nên he vuông góc với IN.
Vậy ai và he vuông góc với nhau tại N.

Gọi P là trung điểm của AC.

Ta có:
- Trong tam giác aiP, ta có ai là đường cao, nên ai vuông góc với IP.
- Trong tam giác mcP, ta có mc là đường cao, nên mc vuông góc với IP.
Vậy ai và mc vuông góc với nhau tại P.

Vậy ta có N và P là hai điểm chung của ai, he và mc.

Do đó, ta có K = N và L = P.

Vậy K và L đều là trung điểm của mi.

Vậy ta đã chứng minh được ai, he, mc đồng quy.