Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ((√x + 1)^2) / (√x - 3), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta đặt y = √x. Khi đó, biểu thức A trở thành:

A = ((y + 1)^2) / (y - 3)

Tiếp theo, ta tính đạo hàm của A theo y:

A' = (2(y + 1)(1) * (y - 3) - (y + 1)^2 * (1)) / (y - 3)^2
= (2y^2 - 4y + 2y - 4 - y^2 - 2y - 1) / (y - 3)^2
= (y^2 - 4y - 5) / (y - 3)^2

Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần tìm nghiệm của A' = 0:

(y^2 - 4y - 5) / (y - 3)^2 = 0

Điều này xảy ra khi và chỉ khi (y^2 - 4y - 5) = 0. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức giải phương trình bậc 2:

y = (4 ± √(4^2 - 4(-5))) / 2
= (4 ± √(16 + 20)) / 2
= (4 ± √36) / 2
= (4 ± 6) / 2

Vậy, ta có hai nghiệm của y: y1 = 5 và y2 = -1.

Tiếp theo, ta tìm x tương ứng với y1 và y2:

Khi y = 5:
√x = 5
x = 25

Khi y = -1:
√x = -1
Không có giá trị thực tương ứng với y = -1.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là A = ((√25 + 1)^2) / (√25 - 3) = (6^2) / 2 = 36 / 2 = 18.