Để chứng minh rằng x^4 + y^2023 là một số nguyên tố, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử x^4 + y^2023 không phải là số nguyên tố. Điều này có nghĩa là nó có thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương khác nhau.

Ta có:
x^4 + y^2023 = (x^2)^2 + (y^2023)^1

Áp dụng công thức khai triển khối của a^2 + b^2, ta có:
(x^2)^2 + (y^2023)^1 = (x^2 + y^2023)^2 - 2x^2y^2023

Tiếp theo, ta sẽ sử dụng đẳng thức đã cho: cho (x + 2) x (y - 1) = (x + 2y)^2

Ta có:
(x + 2) x (y - 1) = (x + 2y)^2
⇒ xy - x + 2y - 2 = x^2 + 4xy + 4y^2
⇒ x^2 + 3xy + 2y^2 - 3x - 2y + 2 = 0

Đặt A = x^2 + 3xy + 2y^2 - 3x - 2y + 2

Ta có:
A = x^2 + 3xy + 2y^2 - 3x - 2y + 2
⇒ A = (x^2 + 2xy + y^2) + (xy + x^2 + y^2 - 3x - 2y + 2)
⇒ A = (x + y)^2 + (x^2 + y^2 - 3x - 2y + 2)

Áp dụng công thức khai triển khối của a^2 + b^2, ta có:
A = (x + y)^2 + (x^2 + y^2 - 3x - 2y + 2)
⇒ A = (x + y)^2 + (x^2 - 3x + 9/4) + (y^2 - 2y + 1) - 9/4 + 1
⇒ A = (x + y)^2 + (x - 3/2)^2 + (y - 1)^2 - 9/4 + 1

Vì A là một số nguyên, nên (x + y)^2, (x - 3/2)^2 và (y - 1)^2 cũng phải là các số nguyên.

Giả sử (x + y)^2, (x - 3/2)^2 và (y - 1)^2 đều là các số nguyên. Khi đó, A cũng là một số nguyên.

Từ đó, ta có:
x^4 + y^2023 = A^2 - 2x^2y^2023
⇒ x^4 + y^2023 = (x + y)^4 + (x - 3/2)^4 + (y - 1)^4 - 2x^2y^2023

Vì (x + y)^4, (x - 3/2)^4 và (y - 1)^4 là các số nguyên, nên x^4 + y^2023 cũng là một số nguyên.

Tuy nhiên, giả sử ban đầu là x^4 + y^2023 không phải là số nguyên tố, điều này mâu thuẫn với kết quả trên.

Vậy, giả sử ban đầu là sai và x^4 + y^2023 là một số nguyên tố.