Cho x y là các số dương thỏa mãn x + y = 1 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x^3y^5 + x^5y^3

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x^3y^5 + x^5y^3, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương x và y, ta có:
(x^3y^5 + x^5y^3)/2 ≥ √(x^3y^5 * x^5y^3)
⇔ (x^3y^5 + x^5y^3)/2 ≥ √(x^8y^8)
⇔ (x^3y^5 + x^5y^3) ≥ 2√(x^8y^8)
⇔ (x^3y^5 + x^5y^3) ≥ 2xy^4

Vì x + y = 1, nên x = 1 - y. Thay vào biểu thức trên, ta có:
(1 - y)^3y^5 + (1 - y)^5y^3 ≥ 2(1 - y)y^4
⇔ (1 - 3y + 3y^2 - y^3)y^5 + (1 - 5y + 10y^2 - 10y^3 + 5y^4 - y^5)y^3 ≥ 2(1 - y)y^4
⇔ y^5 - 3y^6 + 3y^7 - y^8 + y^3 - 5y^4 + 10y^5 - 10y^6 + 5y^7 - y^8 ≥ 2y^4 - 2y^5
⇔ -3y^6 + 3y^7 - 2y^8 + y^3 - 7y^4 + 8y^5 - 5y^6 ≥ 0
⇔ 3y^7 - 3y^6 - 5y^6 + 8y^5 - 7y^4 + y^3 - 2y^8 ≥ 0
⇔ y^3(3y^4 - 3y^3 - 5y^2 + 8y - 7) - 2y^6(y^2 - 1) ≥ 0
⇔ y^3(3y - 1)(y - 1)(y^2 + y - 7) - 2y^6(y - 1)(y + 1) ≥ 0

Vì y là số dương, nên ta có y^3 ≥ 0 và y^2 + y - 7 > 0. Do đó, ta chỉ cần quan tâm đến y^3(3y - 1)(y - 1) - 2y^6(y - 1)(y + 1) ≥ 0.

Điều này tương đương với:
y^3(3y - 1)(y - 1) ≥ 2y^6(y - 1)(y + 1)
⇔ (3y - 1)(y - 1) ≥ 2y^3(y + 1)
⇔ 3y^2 - 4y + 1 ≥ 2y^3 + 2y^2
⇔ 2y^3 + 2y^2 - 3y^2 + 4y - 1 ≤ 0
⇔ 2y^3 - y^2 + 4y - 1 ≤ 0

Để giải phương trình này, ta cần tìm các nghiệm của nó. Tuy nhiên, để đơn giản, ta sẽ sử dụng đồ thị để xác định giá trị lớn nhất của biểu thức Q.

Vẽ đồ thị của hàm số y = 2y^3 - y^2 + 4y - 1, ta có:

{{{graph(300, 200, -1, 2, -5, 5, 2x^3 - x^2 + 4x - 1)}}}

Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số có giá trị lớn nhất khi y = 1. Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức Q là:
Q = x^3y^5 + x^5y^3 = x^3(1)^5 + x^5(1)^3 = x^3 + x^5

Để tìm giá trị lớn nhất của Q, ta cần tìm giá trị lớn nhất của x. Vì x + y = 1, nên x = 1 - y. Thay vào biểu thức Q, ta có:
Q = (1 - y)^3 + (1 - y)^5 = (1 - y)^3(1 + (1 - y)^2)

Để tìm giá trị lớn nhất của Q, ta cần tìm giá trị lớn nhất của (1 - y)^3 và (1 + (1 - y)^2). Tuy nhiên, từ đồ thị, ta thấy rằng (1 - y)^3 có giá trị lớn nhất khi y = 0 và (1 + (1 - y)^2) có giá trị lớn nhất khi y = 1. Vậy, giá trị lớn nhất của Q là:
Q = (1 - y)^3(1 + (1 - y)^2) = (1 - 0)^3(1 + (1 - 0)^2) = 1(1 + 1^2) = 1(1 + 1) = 1(2) = 2

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức Q là 2.