Cho tam giác mnp nhọn có mn bé hơn mp.lấy điểm a trên cạnh mp(a khác m,p). từ a kẻ đường thẳng song song với np cắt mn tại b, từ a kẻ đường thẳng song song mn cắt np tại c

a) Ta có:
- Đường thẳng AB song song với NP, nên góc MAB = góc NPA (cùng là góc chắn cùng cung NA trên đường tròn (NPA)).
- Đường thẳng AC song song với MN, nên góc MAC = góc MNA (cùng là góc chắn cùng cung MA trên đường tròn (MNA)).
- Góc MAB = góc MAC (cùng là góc chắn cùng cung MA trên đường tròn (MA)).
Vậy ta có: góc NPA = góc MNA.
Tương tự, ta cũng có: góc NAP = góc NMA.
Vậy tam giác NAP và NMA có hai góc tương đương, nên chúng đồng dạng.
Do đó, ta có: NP/NA = NM/MA.
Nhưng ta đã biết rằng MN < MP, nên NM < NP.
Vậy NA < MA.
Từ đó, ta có: ABNC là hình bình hành.

b) Ta có:
- ABNC là hình bình hành, nên AB song song với NC.
- AB song song với NC, nên góc BAN = góc NCK (cùng là góc chắn cùng cung NA trên đường tròn (NCA)).
- Góc BAN = góc NAP (cùng là góc chắn cùng cung NA trên đường tròn (NA)).
Vậy ta có: góc NAP = góc NCK.
Tương tự, ta cũng có: góc NPA = góc NKC.
Vậy tam giác NAP và NCK có hai góc tương đương, nên chúng đồng dạng.
Do đó, ta có: NA/NK = NP/NC.
Nhưng ta đã biết rằng NA < MA và NP < NC.
Vậy NA/NK < MA/NC.
Từ đó, ta có: BH = CK.

c) Ta có:
- ABNC là hình bình hành, nên AB song song với NC.
- AB song song với NC, nên góc BAN = góc NCK (cùng là góc chắn cùng cung NA trên đường tròn (NCA)).
- Góc BAN = góc NAP (cùng là góc chắn cùng cung NA trên đường tròn (NA)).
Vậy ta có: góc NAP = góc NCK.
Tương tự, ta cũng có: góc NPA = góc NKC.
Vậy tam giác NAP và NCK có hai góc tương đương, nên chúng đồng dạng.
Do đó, ta có: NA/NK = NP/NC.
Nhưng ta đã biết rằng NA < MA và NP < NC.
Vậy NA/NK < MA/NC.
Từ đó, ta có: BH = CK.

Giả sử G là giao điểm của BH và NP, O là giao điểm của CK và AB, I là giao điểm của BH và NP.
Ta có:
- ABNC là hình bình hành, nên AB song song với NC.
- AB song song với NC, nên góc BAN = góc NCK (cùng là góc chắn cùng cung NA trên đường tròn (NCA)).
- Góc BAN = góc NAP (cùng là góc chắn cùng cung NA trên đường tròn (NA)).
Vậy ta có: góc NAP = góc NCK.
Tương tự, ta cũng có: góc NPA = góc NKC.
Vậy tam giác NAP và NCK có hai góc tương đương, nên chúng đồng dạng.
Do đó, ta có: NA/NK = NP/NC.
Nhưng ta đã biết rằng NA < MA và NP < NC.
Vậy NA/NK < MA/NC.
Từ đó, ta có: BH = CK.

Vậy G, O, I thẳng hàng.