Cho đường tròn tâm O đường kính BC đường tròn lấy điểm A, kẻ AH vuông góc với BC sao cho HB < HC. Kẻ HE và HF vuông góc với AB và AC. CM: 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc 1 đường tròn

Để chứng minh 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc vuông và góc nội tiếp.

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có:
- Vì AH vuông góc với BC nên AH là đường cao của tam giác ABC. Do đó, góc BAH = góc CAH = 90°.
- Vì HE vuông góc với AB nên góc HEB = 90°.
- Vì HF vuông góc với AC nên góc HFC = 90°.

Ta cần chứng minh góc EHF = 180°.

Xét tam giác ABC:
- Góc BAC + góc ABC + góc BCA = 180° (tổng các góc trong tam giác).
- Góc BAC + góc ABC = 90° (góc nội tiếp).
- Góc BAC = 90° - góc ABC.

Xét tam giác AHE:
- Góc HAE + góc AHE + góc EAH = 180° (tổng các góc trong tam giác).
- Góc HAE + góc AHE = 90° (góc nội tiếp).
- Góc HAE = 90° - góc AHE.

Xét tam giác AHF:
- Góc HAF + góc AHF + góc FHA = 180° (tổng các góc trong tam giác).
- Góc HAF + góc AHF = 90° (góc nội tiếp).
- Góc HAF = 90° - góc AHF.

Từ các phương trình trên, ta có:
góc EHF = góc HAF + góc HAE = (90° - góc AHF) + (90° - góc AHE) = 180° - (góc AHF + góc AHE).

Vì góc AHF + góc AHE = 90° (góc nội tiếp), nên:
góc EHF = 180° - 90° = 90°.

Vậy, ta đã chứng minh được góc EHF = 90°, tức là 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.