Để chứng minh phương trình trên, ta sẽ sử dụng định lý nhân đôi trong đại số:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Áp dụng định lý nhân đôi cho (ac + bd)2, ta có:

(ac + bd)2 = (ac)2 + 2(ac)(bd) + (bd)2

(ac + bd)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2

Tương tự, áp dụng định lý nhân đôi cho (ad - bc)2, ta có:

(ad - bc)2 = (ad)2 - 2(ad)(bc) + (bc)2

(ad - bc)2 = a2d2 - 2abcd + b2c2

Kết hợp hai phương trình trên, ta có:

(ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2

(ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + a2d2 + b2d2 + b2c2

(ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)

(ac + bd)2 + (ad - bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

Vậy, phương trình đã được chứng minh.