Để chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP, BMP, CMN đồng quy tại một điểm, ta sẽ sử dụng định lí Ceva.

Định lí Ceva: Trong tam giác ABC, cho M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, AC, AB. Khi đó, ba đường thẳng AN, BP, CM đồng quy tại một điểm khi và chỉ khi:

\(\frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{NA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1\)

Áp dụng định lí Ceva vào tam giác ABC và các điểm M, N, P trên các cạnh BC, AC, AB, ta có:

\(\frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{NA} \cdot \frac{AP}{PB} = \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{NA} \cdot \frac{AP}{PB} = \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{NA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1\)

Vậy ba đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP, BMP, CMN đồng quy tại một điểm.