a) Ta có ∆ABC vuông tại A, nên AD là đường cao của ∆ABC. Do đó, AH là đường cao của ∆ABC và AH ⊥ BC. Tương tự, AK ⊥ BC. Vậy, AH và AK là hai đường cao của ∆ABC.

Gọi O là giao điểm của AH và BK. Ta có ∆ABO và ∆ACO là hai tam giác vuông cân (vì AB = AC và ∠BAO = ∠CAO = 45°). Do đó, AO là đường phân giác của ∠BAC.

Vì ∆ABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°. Vậy, AO cũng là đường phân giác của ∠BAC. Do đó, O nằm trên đường phân giác của ∠BAC.

Tương tự, ta có ∆ADC vuông tại A và AM là đường cao của ∆ADC. Gọi P là giao điểm của AM và CK. Ta có ∆ACP và ∆ADP là hai tam giác vuông cân (vì AC = AD và ∠CAP = ∠DAP = 45°). Do đó, AP là đường phân giác của ∠CAD.

Vì ∆ADC vuông tại A, nên ∠CAD = 90°. Vậy, AP cũng là đường phân giác của ∠CAD. Do đó, P nằm trên đường phân giác của ∠CAD.

Vì O nằm trên đường phân giác của ∠BAC và P nằm trên đường phân giác của ∠CAD, nên O và P là cùng một điểm. Tức là O = P.

Vậy, ta có O là giao điểm của AH và BK, và O là giao điểm của AM và CK. Do đó, O là trung điểm của HK.

Ta có HK ⊥ AE và HK = 2OD (vì O là trung điểm của HK và OD = DA = DE). Vậy, HK = 2OD.

Tương tự, ta có HK ⊥ AE và HK = 2OM (vì O là trung điểm của HK và OM = DA = DE). Vậy, HK = 2OM.

Do đó, 2OD = 2OM. Tức là OD = OM.

Vậy, ta có OD = OM. Điều này chỉ ra rằng tam giác ODM là tam giác cân.

b) Gọi N' là giao điểm của BH và DE. Ta cần chứng minh rằng N' nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại E.

Vì DE = DA, nên tam giác DAE là tam giác cân. Do đó, đường trung tuyến DN' của tam giác DAE là đường cao của tam giác DAE.

Vì DN' ⊥ AE và DN' = DE, nên DN' là đường cao của tam giác DAE và cắt đường thẳng vuông góc với BC tại E.

Vậy, N' nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại E.

Gọi N là giao điểm của BH và DE. Ta cần chứng minh rằng ba điểm D, M, N thẳng hàng.

Vì DN' là đường cao của tam giác DAE và DN' ⊥ AE, nên DN' là đường cao của tam giác DAE và cắt đường thẳng vuông góc với BC tại E.

Vậy, N' nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại E.

Do đó, N = N'.

Vậy, ta có ba điểm D, M, N thẳng hàng.

c) Gọi F' là giao điểm của CF và AE. Ta cần chứng minh rằng tam giác CEF' là tam giác cân.

Vì CF' là đường phân giác của ∠ACB và CF' ⊥ AB, nên CF' là đường cao của tam giác ACB.

Vì ∆ABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°. Vậy, CF' cũng là đường cao của tam giác ACB.

Do đó, CF' là đường cao của tam giác ACB và cắt đường phân giác của ∠ACB tại F'.

Vậy, F' nằm trên đường phân giác của ∠ACB.

Gọi F là giao điểm của CF và AD. Ta cần chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác cân.

Vì CF là đường phân giác của ∠ACB và CF ⊥ AB, nên CF là đường cao của tam giác ACB.

Vì ∆ABC vuông tại A, nên ∠BAC = 90°. Vậy, CF cũng là đường cao của tam giác ACB.

Do đó, CF là đường cao của tam giác ACB và cắt đường phân giác của ∠ACB tại F.

Vậy, F nằm trên đường phân giác của ∠ACB.

Vì F' nằm trên đường phân giác của ∠ACB và F nằm trên đường phân giác của ∠ACB, nên F' và F là cùng một điểm. Tức là F' = F.

Vậy, ta có F' là giao điểm của CF' và AE, và F là giao điểm của CF và AD. Do đó, F' = F.

Vậy, tam giác CEF' là tam giác cân.