Để tìm giá trị nhỏ nhất của D = x^3 + y^3 + 2xy, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta sẽ giải hệ phương trình x + 3y = 2 để tìm giá trị của x và y.

Từ phương trình x + 3y = 2, ta có x = 2 - 3y.

Thay x vào biểu thức D = x^3 + y^3 + 2xy, ta có D = (2 - 3y)^3 + y^3 + 2(2 - 3y)y.

Mở rộng biểu thức, ta có D = 8 - 36y + 54y^2 - 27y^3 + y^3 + 4y - 6y^2.

Kết hợp các thành phần tương tự, ta có D = -27y^3 + 48y^2 - 32y + 8.

Đạo hàm của D theo y là D' = -81y^2 + 96y - 32.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của D, ta giải phương trình D' = 0.

-81y^2 + 96y - 32 = 0.

Chia cả hai vế của phương trình cho -1, ta có 81y^2 - 96y + 32 = 0.

Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:

y = (-(-96) ± √((-96)^2 - 4(81)(32))) / (2(81)).

y = (96 ± √(9216 - 10368)) / 162.

y = (96 ± √(-1152)) / 162.

Vì căn bậc hai của một số âm không tồn tại trong tập số thực, nên phương trình không có nghiệm thực.

Do đó, không có giá trị nhỏ nhất của D.