a) Để chứng minh (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi, ta cần chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt trục tung Oy tại một điểm cố định khi m thay đổi.

Để tìm điểm cắt của (d) với trục tung Oy, ta đặt x = 0 vào phương trình của (d):
y = m(0) + 2
y = 2

Vậy, đường thẳng (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tọa độ (0, 2). Do đó, (d) luôn đi qua điểm cố định (0, 2) khi m thay đổi.

b) Để tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng 1, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

Khoảng cách từ điểm (x₁, y₁) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 được tính bằng công thức:
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)

Ứng dụng công thức này vào bài toán, ta có:
d = |m(0) + 2 - 0| / √(m² + 1²)
d = |2| / √(m² + 1)

Vì khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng 1, ta có:
1 = |2| / √(m² + 1)
√(m² + 1) = 2
m² + 1 = 4
m² = 3
m = ±√3

Vậy, để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng 1, ta có hai giá trị của m: √3 và -√3.

c) Để tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) lớn nhất, ta cần tìm giá trị tuyệt đối của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) là lớn nhất.

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) được tính bằng công thức:
d = |2| / √(m² + 1)
d = 2 / √(m² + 1)

Để d là lớn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của √(m² + 1). Điều này xảy ra khi m² + 1 là nhỏ nhất, tức là m² là nhỏ nhất.

Vì m² không thể là số âm, nên m² sẽ nhỏ nhất khi m = 0.

Vậy, để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) là lớn nhất, ta có m = 0.