Ta có công thức tổng quát của dãy số là:

S = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/n^2

Để chứng minh rằng S không là số nguyên, ta sẽ chứng minh rằng S là một số thực nhưng không phải số nguyên.

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Đặt S(k) = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/k^2

Giả sử S(k) là số nguyên, ta sẽ chứng minh rằng S(k+1) không phải số nguyên.

Ta có:

S(k+1) = S(k) + 1/(k+1)^2

Vì S(k) là số nguyên, nên ta chỉ cần chứng minh rằng 1/(k+1)^2 không phải số nguyên.

Ta biết rằng (k+1)^2 là số nguyên, nên để 1/(k+1)^2 không phải số nguyên, ta cần chứng minh rằng k+1 không phải là một ước của 1.

Vì n > 2, nên k+1 > 3. Do đó, k+1 không phải là ước của 1.

Vậy ta kết luận rằng S(k+1) không phải số nguyên.

Do đó, S không là số nguyên.