Để tìm m để đường thẳng y = MX + 1 - m tạo với góc 45 độ, ta cần biết rằng góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng y = MX + 1 - m là (1, M), vì hệ số góc của đường thẳng là M.

Góc giữa hai vectơ chỉ phương (a, b) và (c, d) được tính bằng công thức:

cos(θ) = (a * c + b * d) / (sqrt(a^2 + b^2) * sqrt(c^2 + d^2))

Với góc 45 độ, ta có cos(45) = sqrt(2)/2.

Áp dụng công thức trên, ta có:

sqrt(2)/2 = (1 * c + M * d) / (sqrt(1^2 + M^2) * sqrt(c^2 + d^2))

Simplifying the equation, we get:

sqrt(2) * sqrt(1^2 + M^2) = sqrt(c^2 + d^2) + M * sqrt(c^2 + d^2)

Squaring both sides of the equation, we get:

2 * (1 + M^2) = c^2 + d^2 + 2 * M * sqrt(c^2 + d^2) + M^2 * (c^2 + d^2)

Simplifying the equation further, we get:

2 + 2M^2 = c^2 + d^2 + 2M * sqrt(c^2 + d^2) + M^2 * c^2 + M^2 * d^2

Rearranging the terms, we get:

(1 + M^2) * (1 + c^2 + d^2) = (1 + M * sqrt(c^2 + d^2))^2

Expanding the equation, we get:

1 + M^2 + c^2 + d^2 + M^2 * c^2 + M^2 * d^2 = 1 + 2M * sqrt(c^2 + d^2) + M^2 * (c^2 + d^2)

Simplifying the equation further, we get:

c^2 + d^2 + M^2 * c^2 + M^2 * d^2 = 2M * sqrt(c^2 + d^2)

Dividing both sides of the equation by c^2 + d^2, we get:

1 + M^2 = 2M * sqrt(1 + (d/c)^2)

Squaring both sides of the equation, we get:

1 + 2M^2 + M^4 = 4M^2 * (1 + (d/c)^2)

Rearranging the terms, we get:

M^4 - 2M^2 * (1 + (d/c)^2) + 3 = 0

This is a quadratic equation in terms of M^2. Solving this equation will give us the possible values of M^2.

Once we have the values of M^2, we can find the corresponding values of M by taking the square root of M^2.

Note: The equation above assumes that c and d are not both zero. If c and d are both zero, then the equation becomes 1 + M^2 = 0, which has no real solutions.