Tìm giá trị nhỏ nhất M=|5x+3|+|3x^2 +2x|+|x-1|- 4x+13

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=|5x+3|+|3x^2 +2x|+|x-1|- 4x+13, ta cần xét các trường hợp khi giá trị trong các dấu tuyệt đối thay đổi.

1. Khi 5x + 3 ≥ 0 và 3x^2 + 2x ≥ 0:
- Khi x ≥ -3/5 và x ≥ 0, ta có:
M = (5x + 3) + (3x^2 + 2x) + (x - 1) - 4x + 13
= 3x^2 + 4x + 15
Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta xét đạo hàm của M theo x:
M' = 6x + 4
Đạo hàm M' bằng 0 khi x = -2/3.
Ta có M'' = 6 > 0, nên x = -2/3 là điểm cực tiểu của M.
Khi x = -2/3, ta có M = 3*(-2/3)^2 + 4*(-2/3) + 15 = 19/3.
- Khi x < -3/5 và x ≥ 0, ta có:
M = -(5x + 3) + (3x^2 + 2x) + (x - 1) - 4x + 13
= 3x^2 - 6x + 9
Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta xét đạo hàm của M theo x:
M' = 6x - 6
Đạo hàm M' bằng 0 khi x = 1.
Ta có M'' = 6 > 0, nên x = 1 là điểm cực tiểu của M.
Khi x = 1, ta có M = 3*1^2 - 6*1 + 9 = 6.
- Khi x < -3/5 và 3x^2 + 2x < 0, ta có:
M = -(5x + 3) - (3x^2 + 2x) + (x - 1) - 4x + 13
= -3x^2 - 10x + 9
Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta xét đạo hàm của M theo x:
M' = -6x - 10
Đạo hàm M' bằng 0 khi x = -5/3.
Ta có M'' = -6 < 0, nên x = -5/3 là điểm cực đại của M.
Khi x = -5/3, ta có M = -3*(-5/3)^2 - 10*(-5/3) + 9 = 4/3.

2. Khi 5x + 3 < 0 và 3x^2 + 2x ≥ 0:
- Khi x < -3/5 và x ≥ 0, ta có:
M = -(5x + 3) + (3x^2 + 2x) + (x - 1) - 4x + 13
= 3x^2 - 6x + 9
Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta xét đạo hàm của M theo x:
M' = 6x - 6
Đạo hàm M' bằng 0 khi x = 1.
Ta có M'' = 6 > 0, nên x = 1 là điểm cực tiểu của M.
Khi x = 1, ta có M = 3*1^2 - 6*1 + 9 = 6.
- Khi x < -3/5 và 3x^2 + 2x < 0, ta có:
M = -(5x + 3) - (3x^2 + 2x) + (x - 1) - 4x + 13
= -3x^2 - 10x + 9
Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta xét đạo hàm của M theo x:
M' = -6x - 10
Đạo hàm M' bằng 0 khi x = -5/3.
Ta có M'' = -6 < 0, nên x = -5/3 là điểm cực đại của M.
Khi x = -5/3, ta có M = -3*(-5/3)^2 - 10*(-5/3) + 9 = 4/3.

3. Khi 5x + 3 ≥ 0 và 3x^2 + 2x < 0:
- Khi x ≥ -3/5 và x ≥ 0, ta có:
M = (5x + 3) - (3x^2 + 2x) + (x - 1) - 4x + 13
= -3x^2 - 10x + 15
Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta xét đạo hàm của M theo x:
M' = -6x - 10
Đạo hàm M' bằng 0 khi x = -5/3.
Ta có M'' = -6 < 0, nên x = -5/3 là điểm cực đại của M.
Khi x = -5/3, ta có M = -3*(-5/3)^2 - 10*(-5/3) + 15 = 4/3.

4. Khi 5x + 3 < 0 và 3x^2 + 2x < 0:
- Khi x < -3/5 và x ≥ 0, ta có:
M = -(5x + 3) - (3x^2 + 2x) + (x - 1) - 4x + 13
= -3x^2 - 10x + 9
Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta xét đạo hàm của M theo x:
M' = -6x - 10
Đạo hàm M' bằng 0 khi x = -5/3.
Ta có M'' = -6 < 0, nên x = -5/3 là điểm cực đại của M.
Khi x = -5/3, ta có M = -3*(-5/3)^2 - 10*(-5/3) + 9 = 4/3.

Tổng kết lại, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 4/3.