a) Ta có CD = AB và Dx//AB, suy ra Dx = AB. Mà DE = BC, nên Dx = DE. Do đó, tam giác CDE là tam giác cân tại D. Vì vậy, ta có CE = CD = AB = AC.

b) Ta có PD = AB và Dx//AB, suy ra AD//BP theo định lí cắt song song.

c) Ta có EP vuông góc BD khi và chỉ khi tam giác EPD vuông góc tại P. Ta có PD = AB và DE = BC, nên tam giác EPD và tam giác ABC có cạnh tương đương. Do đó, tam giác EPD vuông góc tại P khi và chỉ khi tam giác ABC vuông góc tại A.

d) Gọi O là trung điểm của BD. Ta cần chứng minh O là trung điểm của AP.

Vì O là trung điểm của BD, nên OB = OD. Ta có AC = CE (theo câu a), nên tam giác ACE là tam giác cân tại C. Mà O là trung điểm của BD, nên OB = OC. Do đó, tam giác OBC là tam giác cân tại O.

Từ đó, ta có OB = OC = OD và tam giác OBC là tam giác cân tại O. Vậy O là trung điểm của BC.

Ta có AB = PD và AD//BP (theo câu b), nên tam giác ABD và tam giác PBD có cạnh tương đương. Mà O là trung điểm của BC, nên OB = OD. Do đó, tam giác PBD và tam giác ABD có cạnh tương đương và OB = OD.

Từ đó, ta có OB = OD và tam giác PBD là tam giác cân tại O. Vậy O là trung điểm của AP.