Cho hình thang ABCD có AB//CD. Gọi E là giao điểm của AC và BM. F là giao điểm của BD và AM

Để chứng minh EA/EC = 2AB/CD, ta sẽ sử dụng định lí Thales và định lí Menelaus.

Theo định lí Thales, ta có:
AB/BC = AM/MD (1)
Vì AB//CD, nên ta cũng có:
AB/CD = AM/MD (2)

Từ (1) và (2), ta có:
AB/BC = AB/CD
=> BC = CD (3)

Theo định lí Menelaus, áp dụng cho tam giác ABD và đường thẳng EF, ta có:
(AM/MB) * (BF/FD) * (DE/EA) = 1 (4)

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BCD và đường thẳng EF, ta có:
(BM/MD) * (DF/FC) * (CE/EB) = 1 (5)

Từ (4) và (5), ta có:
(AM/MB) * (BF/FD) * (DE/EA) = (BM/MD) * (DF/FC) * (CE/EB)
=> (AM/MB) * (BF/FD) * (DE/EA) = (BM/MD) * (DF/FC) * (EB/CE) (6)

Vì GF = EF = FH, nên ta có:
(BF/FD) = (CE/EB) (7)

Từ (6) và (7), ta có:
(AM/MB) * (BF/FD) * (DE/EA) = (BM/MD) * (DF/FC) * (EB/CE)
=> (AM/MB) * (CE/EB) * (DE/EA) = (BM/MD) * (DF/FC) * (EB/CE)
=> (AM/MB) * (DE/EA) = (BM/MD) * (DF/FC) (8)

Từ (3) và (8), ta có:
(AM/MB) * (DE/EA) = (BM/MD) * (DF/FC)
=> (AM/MB) * (DE/EA) = (BM/MD) * (DF/FC) * (BC/CD)
=> (AM/MB) * (DE/EA) = (BM/MD) * (DF/FC) * (1/2) (9)

Vì GF = EF = FH, nên ta có:
(DF/FC) = 1 (10)

Từ (9) và (10), ta có:
(AM/MB) * (DE/EA) = (BM/MD) * (1) * (1/2)
=> (AM/MB) * (DE/EA) = (BM/MD) * (1/2)
=> (AM/MB) * (DE/EA) = (1/2) * (BM/MD)
=> (AM/MB) * (DE/EA) = (1/2) * (AB/BC) (11)

Vì AB//CD, nên ta cũng có:
AB/CD = AM/MD (12)

Từ (11) và (12), ta có:
(AM/MB) * (DE/EA) = (1/2) * (AB/CD)
=> (DE/EA) = (1/2) * (AB/CD) (13)

Từ (13), ta có:
EA/EC = (EA + AC)/EC = (DE + EA + AC)/EC = (DE + AC)/EC
=> EA/EC = (DE + AC)/EC = DE/EC + AC/EC

Vì DE/EA = 1/2 và AC/EC = AB/BC = AB/CD (theo (3)), nên ta có:
EA/EC = 1/2 + AB/CD = 2AB/2CD + AB/CD = 3AB/2CD

Vậy, ta đã chứng minh được EA/EC = 2AB/CD.

Để chứng minh EF//CD, ta sẽ sử dụng định lí Thales.

Theo định lí Thales, ta có:
AB/BC = AM/MD (1)
Vì AB//CD, nên ta cũng có:
AB/CD = AM/MD (2)

Từ (1) và (2), ta có:
AB/BC = AB/CD
=> BC = CD (3)

Vì GF = EF = FH, nên ta có:
GF/BC = EF/CD = FH/CD

Từ (3), ta có:
GF/CD = EF/CD = FH/CD

Vậy, ta đã chứng minh được EF//CD.

Và cuối cùng, ta đã chứng minh được EA/EC = 2AB/CD và EF//CD.