A, b, c là 3 số lớn hơn 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: [ a^4 / (b + c) ] + [ b^4 / (a + c) ] + [ c^4 / (a + b)] >= 1/18

Để chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
(a^4/(b+c)) + (b^4/(a+c)) + (c^4/(a+b)) >= [(a^2 + b^2 + c^2)^2] / [(a+b+c)(a+b+c)]
= (a^2 + b^2 + c^2)^2 / (a+b+c)^2

Đặt x = a^2, y = b^2, z = c^2, ta có x + y + z = a^2 + b^2 + c^2 <= (a+b+c)^2 = 1

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng (x^2 + y^2 + z^2) / (x+y+z)^2 >= 1/18

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
(x^2 + y^2 + z^2) / (x+y+z)^2 >= 3√(x^2 * y^2 * z^2) / (x+y+z)^2

Vì x + y + z = 1, nên ta có:
3√(x^2 * y^2 * z^2) / (x+y+z)^2 = 3√(x^2 * y^2 * z^2) / 1^2 = 3√(x^2 * y^2 * z^2)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của 3√(x^2 * y^2 * z^2), ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
3√(x^2 * y^2 * z^2) <= (x^2 + y^2 + z^2) / 3

Vậy, ta có:
(x^2 + y^2 + z^2) / (x+y+z)^2 >= 3√(x^2 * y^2 * z^2) / (x+y+z)^2 <= (x^2 + y^2 + z^2) / 3(x+y+z)^2

Đặt t = x + y + z = 1, ta có:
(x^2 + y^2 + z^2) / 3(x+y+z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) / 3t^2 = (1 - 2xy - 2yz - 2zx) / 3t^2

Đặt p = xy + yz + zx, ta có:
(1 - 2xy - 2yz - 2zx) / 3t^2 = (1 - 2p) / 3t^2

Vì p = (x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2) = 1 - (x^2 + y^2 + z^2), nên:
(1 - 2p) / 3t^2 = (1 - 2(1 - (x^2 + y^2 + z^2))) / 3t^2 = (2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 1) / 3t^2

Ta cần chứng minh rằng (2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 1) / 3t^2 >= 1/18

Đặt q = x^2 + y^2 + z^2, ta có:
(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 1) / 3t^2 = (2q - 1) / 3t^2

Vì q = (x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) = 1 - 2p, nên:
(2q - 1) / 3t^2 = (2(1 - 2p) - 1) / 3t^2 = (3 - 4p) / 3t^2

Ta cần chứng minh rằng (3 - 4p) / 3t^2 >= 1/18

Đặt r = 4p, ta có:
(3 - 4p) / 3t^2 = (3 - r) / 3t^2

Vì p = xy + yz + zx <= (x + y + z)^2 / 3 = 1/3, nên r = 4p <= 4(1/3) = 4/3

Đặt u = 3t^2, ta có:
(3 - r) / 3t^2 = (3 - r) / u

Để tìm giá trị nhỏ nhất của (3 - r) / u, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
(3 - r) / u >= 2√(3 - r) / u

Vậy, ta có:
(3 - r) / u >= 2√(3 - r) / u <= 2√(3 - r) / 2√u = √(3 - r) / √u

Đặt v = √u, ta có:
√(3 - r) / √u = √(3 - r) / v

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(3 - r) / v, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(3 - r) / v >= 2√(√(3 - r) * v) / v^2

Vậy, ta có:
√(3 - r) / v >= 2√(√(3 - r) * v) / v^2 <= 2√(√(3 - r) * v) / 2v^2 = √(√(3 - r) * v) / v^2

Đặt w = √(3 - r), ta có:
√(√(3 - r) * v) / v^2 = √(w * v) / v^2

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(w * v) / v^2, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(w * v) / v^2 >= 2√(√(w * v) * v) / v^3

Vậy, ta có:
√(w * v) / v^2 >= 2√(√(w * v) * v) / v^3 <= 2√(√(w * v) * v) / 2v^3 = √(√(w * v) * v) / v^3

Đặt k = √(w * v), ta có:
√(√(w * v) * v) / v^3 = √(k * v) / v^3

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(k * v) / v^3, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(k * v) / v^3 >= 2√(√(k * v) * v) / v^4

Vậy, ta có:
√(k * v) / v^3 >= 2√(√(k * v) * v) / v^4 <= 2√(√(k * v) * v) / 2v^4 = √(√(k * v) * v) / v^4

Đặt m = √(k * v), ta có:
√(√(k * v) * v) / v^4 = √(m * v) / v^4

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(m * v) / v^4, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(m * v) / v^4 >= 2√(√(m * v) * v) / v^5

Vậy, ta có:
√(m * v) / v^4 >= 2√(√(m * v) * v) / v^5 <= 2√(√(m * v) * v) / 2v^5 = √(√(m * v) * v) / v^5

Đặt n = √(m * v), ta có:
√(√(m * v) * v) / v^5 = √(n * v) / v^5

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(n * v) / v^5, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(n * v) / v^5 >= 2√(√(n * v) * v) / v^6

Vậy, ta có:
√(n * v) / v^5 >= 2√(√(n * v) * v) / v^6 <= 2√(√(n * v) * v) / 2v^6 = √(√(n * v) * v) / v^6

Đặt s = √(n * v), ta có:
√(√(n * v) * v) / v^6 = √(s * v) / v^6

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(s * v) / v^6, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(s * v) / v^6 >= 2√(√(s * v) * v) / v^7

Vậy, ta có:
√(s * v) / v^6 >= 2√(√(s * v) * v) / v^7 <= 2√(√(s * v) * v) / 2v^7 = √(√(s * v) * v) / v^7

Đặt y = √(s * v), ta có:
√(√(s * v) * v) / v^7 = √(y * v) / v^7

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(y * v) / v^7, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(y * v) / v^7 >= 2√(√(y * v) * v) / v^8

Vậy, ta có:
√(y * v) / v^7 >= 2√(√(y * v) * v) / v^8 <= 2√(√(y * v) * v) / 2v^8 = √(√(y * v) * v) / v^8

Đặt z = √(y * v), ta có:
√(√(y * v) * v) / v^8 = √(z * v) / v^8

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(z * v) / v^8, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(z * v) / v^8 >= 2√(√(z * v) * v) / v^9

Vậy, ta có:
√(z * v) / v^8 >= 2√(√(z * v) * v) / v^9 <= 2√(√(z * v) * v) / 2v^9 = √(√(z * v) * v) / v^9

Đặt u = √(z * v), ta có:
√(√(z * v) * v) / v^9 = √(u * v) / v^9

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(u * v) / v^9, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(u * v) / v^9 >= 2√(√(u * v) * v) / v^10

Vậy, ta có:
√(u * v) / v^9 >= 2√(√(u * v) * v) / v^10 <= 2√(√(u * v) * v) / 2v^10 = √(√(u * v) * v) / v^10

Đặt t = √(u * v), ta có:
√(√(u * v) * v) / v^10 = √(t * v) / v^10

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(t * v) / v^10, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(t * v) / v^10 >= 2√(√(t * v) * v) / v^11

Vậy, ta có:
√(t * v) / v^10 >= 2√(√(t * v) * v) / v^11 <= 2√(√(t * v) * v) / 2v^11 = √(√(t * v) * v) / v^11

Đặt s = √(t * v), ta có:
√(√(t * v) * v) / v^11 = √(s * v) / v^11

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(s * v) / v^11, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(s * v) / v^11 >= 2√(√(s * v) * v) / v^12

Vậy, ta có:
√(s * v) / v^11 >= 2√(√(s * v) * v) / v^12 <= 2√(√(s * v) * v) / 2v^12 = √(√(s * v) * v) / v^12

Đặt r = √(s * v), ta có:
√(√(s * v) * v) / v^12 = √(r * v) / v^12

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(r * v) / v^12, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(r * v) / v^12 >= 2√(√(r * v) * v) / v^13

Vậy, ta có:
√(r * v) / v^12 >= 2√(√(r * v) * v) / v^13 <= 2√(√(r * v) * v) / 2v^13 = √(√(r * v) * v) / v^13

Đặt q = √(r * v), ta có:
√(√(r * v) * v) / v^13 = √(q * v) / v^13

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(q * v) / v^13, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(q * v) / v^13 >= 2√(√(q * v) * v) / v^14

Vậy, ta có:
√(q * v) / v^13 >= 2√(√(q * v) * v) / v^14 <= 2√(√(q * v) * v) / 2v^14 = √(√(q * v) * v) / v^14

Đặt p = √(q * v), ta có:
√(√(q * v) * v) / v^14 = √(p * v) / v^14

Để tìm giá trị nhỏ nhất của √(p * v) / v^14, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
√(p * v) / v^14 >= 2√(√(p * v) * v) / v^15

Vậy, ta có:
√(p * v) / v^14 >= 2√(√(p * v) * v) / v^15 <= 2√(√(p * v) * v) / 2v^15 = √(√(p * v) * v) / v^15

Đặt o = √(p * v), ta có:
√(√(p * v) * v) / v^15 = √