a) Để tìm đường kính của bóng đen in trên màn, ta sử dụng nguyên lý tương tự tam giác đồng dạng. Gọi D là điểm tiếp xúc giữa đĩa và màn, O là tâm của đĩa, và E là điểm tiếp xúc giữa đĩa và bóng đen trên màn.

Theo đề bài, ta có:
OD = 20 cm (đường kính của đĩa)
DE = 50 cm (đĩa cách điểm sáng)

Vì đường kính của đĩa song song với màn và điểm sáng nằm trên trục đi qua tâm và vuông góc với đĩa, nên tam giác ODE là tam giác vuông tại D.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ODE, ta có:
OD^2 = OE^2 + DE^2
20^2 = OE^2 + 50^2
400 = OE^2 + 2500
OE^2 = 2100
OE ≈ 45.83 cm

Vậy đường kính của bóng đen in trên màn là 2 * OE ≈ 2 * 45.83 ≈ 91.67 cm.

b) Để đường kính bóng đen giảm đi một nửa, ta cần di chuyển đĩa một đoạn bằng 1/4 đường kính của đĩa ban đầu. Theo chiều nào di chuyển phụ thuộc vào vị trí ban đầu của đĩa và đường kính bóng đen.

c) Vận tốc thay đổi đường kính của bóng đen có thể tính bằng đạo hàm của đường kính theo thời gian. Vì đường kính bóng đen phụ thuộc vào đường kính của đĩa và khoảng cách giữa đĩa và điểm sáng, nên ta cần biết cách đường kính của bóng đen thay đổi theo các yếu tố này.

d) Để tìm vị trí đặt vật sáng để đường kính bóng đen vẫn như câu a, ta cần xác định khoảng cách giữa vật sáng và màn. Gọi F là tâm của vật sáng, và G là điểm tiếp xúc giữa vật sáng và bóng đen trên màn.

Theo đề bài, ta có:
OG = 20 cm (đường kính của đĩa)
FG = 50 cm (đĩa cách điểm sáng)

Vì đường kính của vật sáng song song với màn và điểm sáng nằm trên trục đi qua tâm và vuông góc với vật sáng, nên tam giác OFG là tam giác vuông tại G.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OFG, ta có:
OG^2 = OF^2 + FG^2
20^2 = OF^2 + 50^2
400 = OF^2 + 2500
OF^2 = 2100
OF ≈ 45.83 cm

Vậy vị trí đặt vật sáng để đường kính bóng đen vẫn như câu a là cách màn 45.83 cm.