Cho tam giác ABC cân tại A, có AM là đường phân giác của góc A ( M thuộc BC ) . Từ M lần lượt kẻ các đường song song với AB và AC, các đường thẳng này cắt AC tại N, cắt AB tại E

a) Ta có AM là đường phân giác của góc A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A, nên đường cao AM cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, tức là AM song song với BC.

Từ M kẻ đường song song với AB, cắt AC tại N. Ta có AM || BC và MN || AB, nên theo nguyên lý song song, ta có MN || BC.

Tương tự, từ M kẻ đường song song với AC, cắt AB tại E. Ta có AM || BC và ME || AC, nên theo nguyên lý song song, ta có ME || BC.

Vậy tứ giác AEMN là hình thoi.

b) Ta đã chứng minh ở câu a) rằng tứ giác AEMN là hình thoi. Vì đường chéo của hình thoi chia đôi nhau và song song với hai cạnh, nên ta có ME = AN và MN = AE.

Từ đó, ta có ME = AN và MN = AE, nên tứ giác BENM là hình bình hành.

c) Gọi D là trung điểm của MN. Ta cần chứng minh tứ giác ADCM là hình chữ nhật.

Vì AEMN là hình thoi, nên AM là đường phân giác của góc A. Do đó, góc MAB = góc MAC.

Ta có MN || BC, nên góc MNC = góc BAC.

Vì góc MAB = góc MAC và góc MNC = góc BAC, nên ta có góc MAB = góc MNC.

Từ đó, ta có góc MAB = góc MAC = góc MNC.

Vậy tứ giác ADCM là hình chữ nhật (có hai góc đối nhau bằng nhau và hai cạnh đối nhau song song).