Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là 2 tiếp điểm)

a) Ta có:
- AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOB = 90°.
- AH là đường cao của tam giác ABC nên góc BAH = 90°.
Do đó, góc AOB = góc BAH, suy ra AO vuông góc BC.

b) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của BD.
- Do đường thẳng BD là đường kính của đường tròn (O) nên góc BOD = 90°.
- Góc BOD = góc BAD (cùng nằm trên cùng một cung BD) = góc BAE (cùng nằm trên cùng một cung BE).
- Góc BAE = góc BAD = góc BAH + góc HAD = góc BAH + góc OAD (vì AH // OD).
- Góc BAE = góc BAH + góc OAD = 90° + góc OAD = góc OAD + góc OAE (vì góc BAH = 90°).
- Góc BAE = góc OAD + góc OAE = góc OAD + góc OAM (vì góc OAE = góc OAM).
- Góc BAE = góc OAD + góc OAM = góc OAD + góc OMD (vì góc OAM = góc OMD).
- Góc BAE = góc OAD + góc OMD = góc OAD + góc OBD (vì góc OMD = góc OBD).
- Góc BAE = góc OAD + góc OBD = góc OAD + góc OAD (vì góc OBD = góc OAD).
- Góc BAE = 2góc OAD.
- Góc BAE = góc BAD + góc DAE = góc BAD + góc DAB (vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Góc BAE = góc BAD + góc DAB = góc BAD + góc BAH (vì góc DAB = góc BAH).
- Góc BAE = góc BAD + góc BAH = 90° + góc BAH = 90° + 90° = 180°.
- Góc BAE = 180°.
Do đó, AE là đường kính của đường tròn (O).

c) Ta có:
- Góc OAK = 90° (vì OK là đường thẳng vuông góc với AD).
- Góc OAK = góc OAD (cùng nằm trên cùng một cung AD) = góc OBD (vì AE là đường kính của đường tròn (O)).
- Góc OAK = góc OBD.
- Góc OAK = góc OBD = góc OBD + góc BDA (vì góc BDA = 0°).
- Góc OAK = góc OBD + góc BDA = góc OBD + góc BDA + góc BDA (vì góc BDA = 0°).
- Góc OAK = góc OBD + góc BDA + góc BDA = góc OBD + 2góc BDA.
- Góc OAK = góc OBD + 2góc BDA = góc OBD + 2góc BAD (vì góc BDA = góc BAD).
- Góc OAK = góc OBD + 2góc BAD = góc OBD + 2góc BAH (vì góc BAD = góc BAH).
- Góc OAK = góc OBD + 2góc BAH = góc OBD + góc BAH + góc BAH.
- Góc OAK = góc OBD + góc BAH + góc BAH = góc OBD + góc BAH + góc OAH (vì AH // OD).
- Góc OAK = góc OBD + góc BAH + góc OAH = góc OBD + góc BAH + góc OAB (vì góc OAH = góc OAB).
- Góc OAK = góc OBD + góc BAH + góc OAB = góc OBD + góc BAH + góc BAH (vì góc OAB = góc BAH).
- Góc OAK = góc OBD + góc BAH + góc BAH = góc OBD + 2góc BAH.
- Góc OAK = góc OBD + 2góc BAH = góc OBD + góc BAH + góc BAH.
- Góc OAK = góc OBD + góc BAH + góc BAH = góc OBD + góc BAH + góc OAH (vì AH // OD).
- Góc OAK = góc OBD + góc BAH + góc OAH = góc OBD + góc BAH + góc OAB (vì góc OAH = góc OAB).
- Góc OAK = góc OBD + góc BAH + góc OAB = góc OBD + góc BAH + góc BAH (vì góc OAB = góc BAH).
- Góc OAK = góc OBD + góc BAH + góc BAH = góc OBD + 2góc BAH.
- Góc OAK = góc OBD + 2góc BAH = góc OBD + góc BAH + góc BAH = 180° (vì góc BAH = 90°).
- Góc OAK = 180°.
Do đó, OK là đường kính của đường tròn (O).
Vậy FD là tiếp tuyến của đường tròn (O).