a) Chứng minh: Tam giác AMD = Tam giác CMB

Ta có:
- MB = MD (giả thiết)
- AM = MC (M là trung điểm AC)
- Góc AMD = Góc CMB (đối tia)

Vậy theo trường hợp TAM, ta có: Tam giác AMD = Tam giác CMB.

b) Chứng minh: AB // CD

Vì M là trung điểm AC, nên ta có: AM = MC.
Vì MB = MD (giả thiết), nên ta có: Tam giác AMD = Tam giác CMB (theo phần a).
Do đó, ta có: Góc MAD = Góc MCB (cùng là góc đối).
Vậy theo trường hợp ĐỐI, ta có: AB // CD.

c) Chứng minh: ND = BP

Vẽ CN ⊥ AD (N ∈ AD) và AP ⊥ BC (P ∈ BC).

Ta có:
- AM = MC (M là trung điểm AC)
- CN ⊥ AD và AP ⊥ BC (theo giả thiết)
- Góc MAD = Góc MCB (cùng là góc đối)

Vậy theo trường hợp CĐN, ta có: Tam giác MAD = Tam giác MCB.
Do đó, ta có: ND = BP.

d) Chứng minh: N, M, P thẳng hàng

Vì CN ⊥ AD và AP ⊥ BC (theo giả thiết), nên ta có: Góc NCA = Góc PAB (cùng là góc vuông).
Vì AM = MC (M là trung điểm AC), nên ta có: Góc MCA = Góc MAC.
Vậy theo trường hợp TTT, ta có: Tam giác NCA = Tam giác PAB.
Do đó, ta có: Góc NAC = Góc PBA (cùng là góc đối).

Vậy theo trường hợp ĐỐI, ta có: NP // AB.
Vì AB // CD (theo phần b), nên ta có: NP // CD.

Vậy N, M, P thẳng hàng.