a) Ta có AB = AC và M là trung điểm của BC, suy ra BM = MC.
Vì AB = AC và BM = MC, nên tam giác ABM và tam giác ACM là hai tam giác cân cùng có cạnh chung AM. Do đó, tam giác ABM và tam giác ACM bằng nhau.

b) Ta có AB = AC và BM = MC, suy ra tam giác ABC là tam giác cân.
Gọi I là giao điểm của AM và BC. Ta cần chứng minh AM là phân giác của góc BAC và AM vuông góc với BC.
Vì BM = MC và AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC, suy ra BI = IC và AM song song với BC.
Do đó, tam giác BAI và tam giác CAI là hai tam giác cân cùng có cạnh chung AI.
Vì BI = IC và AM song song với BC, suy ra góc BAI = góc CAI và góc BAI + góc CAI = 180°.
Vậy, AM là phân giác của góc BAC.

c) Gọi D là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AM. Ta cần chứng minh DB = DC.
Vì M là trung điểm của BC, suy ra BM = MC.
Vì AB = AC và BM = MC, suy ra tam giác ABM và tam giác ACM là hai tam giác cân cùng có cạnh chung AM.
Do đó, góc ABM = góc ACM và góc BAM = góc CAM.
Vì DB là đường phân giác của góc ABM và DC là đường phân giác của góc ACM, suy ra góc ADB = góc ADC.
Vậy, DB = DC.

d) Gọi H là một điểm thuộc AB và K là một điểm thuộc AC sao cho BH = CK. Ta cần chứng minh MH = MK.
Vì AB = AC và BH = CK, suy ra tam giác ABH và tam giác ACK là hai tam giác cân cùng có cạnh chung AH = AK.
Do đó, góc BAH = góc CAK và góc ABH = góc ACK.
Vì M là trung điểm của BC, suy ra BM = MC.
Vì AB = AC và BM = MC, suy ra tam giác ABM và tam giác ACM là hai tam giác cân cùng có cạnh chung AM.
Do đó, góc ABM = góc ACM và góc BAM = góc CAM.
Vậy, góc BAH + góc ABM = góc CAK + góc ACM và góc BAH + góc BAM = góc CAK + góc CAM.
Suy ra, góc MAH = góc MAK.
Vì AH = AK và góc MAH = góc MAK, suy ra tam giác AMH và tam giác AMK là hai tam giác cân cùng có cạnh chung AM.
Do đó, MH = MK.