Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=x^2+5y^2-4xy-4yz-4z+12

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x^2 + 5y^2 - 4xy - 4yz - 4z + 12, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số này.

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

B = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (4y^2 - 4yz) - 4z + 12
= (x - 2y)^2 + 4(y^2 - yz) - 4z + 12

Ta thấy rằng biểu thức (x - 2y)^2 luôn không âm, nên để giá trị nhỏ nhất của B, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4(y^2 - yz) - 4z + 12.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta sẽ xem nó như một hàm số của y và z.

Đạo hàm riêng theo y:
d/dy (4(y^2 - yz) - 4z + 12) = 8y - 4z

Đạo hàm riêng theo z:
d/dz (4(y^2 - yz) - 4z + 12) = -4y - 4

Để tìm điểm cực tiểu, ta giải hệ phương trình:
8y - 4z = 0
-4y - 4 = 0

Từ đó, ta có y = -1 và z = -1.

Thay y = -1 và z = -1 vào biểu thức ban đầu, ta có:
B = (x - 2(-1))^2 + 4((-1)^2 - (-1)(-1)) - 4(-1) + 12
= (x + 2)^2 + 4(1) + 4 + 12
= (x + 2)^2 + 20

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 20, đạt được khi x = -2, y = -1 và z = -1.