Cho x, y, z là 3 số thỏa mãn điều kiện

Để tính S = (x-4)^2023 + (y-4)^2023 + (z-4)^2023, ta cần tìm giá trị của x, y, z.

Điều kiện 4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0 có thể viết lại thành:
2y^2 - 4xy + 2yz - 6y + 4x^2 - 4xz - 10z + 34 = 0.

Ta nhận thấy đây là một phương trình bậc hai đối với biến x, y, z. Để giải phương trình này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đặt A = 2, B = -4y + 2z - 6, C = 2y^2 - 6y + 34 - 4xz - 10z.

Ta có: 4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0
<=> A(x^2 - xz) + B(x - z) + C + y^2 - yz - 3y = 0.

Đặt D = C + y^2 - yz - 3y, ta có: A(x^2 - xz) + B(x - z) + D = 0.

Để hoàn thành khối vuông, ta cần thêm một số hạng vào cả hai vế của phương trình trên. Số hạng này có thể được tính bằng cách lấy bình phương của một nửa hệ số của x hoặc z, tùy thuộc vào hệ số của x^2 - xz hoặc x - z.

Ở đây, ta có A = 2, B = -4y + 2z - 6. Vậy ta sẽ thêm số hạng (B/2A)^2 vào cả hai vế của phương trình.

Ta có: A(x^2 - xz) + B(x - z) + D + (B/2A)^2 = 0
<=> 2(x^2 - xz) - 4y + 2z - 6(x - z) + D + (B/2A)^2 = 0
<=> 2x^2 - 2xz - 6x + 6z - 4y + 2z + D + (B/2A)^2 = 0
<=> 2x^2 - 2x(z + 3) + 2(z + 3)z - 4y + D + (B/2A)^2 = 0.

Đặt E = D + (B/2A)^2, ta có: 2x^2 - 2x(z + 3) + 2(z + 3)z - 4y + E = 0.

Đây là một phương trình bậc hai đối với biến x, y. Ta sẽ giải phương trình này để tìm giá trị của x và y.

Giải phương trình 2x^2 - 2x(z + 3) + 2(z + 3)z - 4y + E = 0 theo x, ta được:
x = [(z + 3) ± √((z + 3)^2 - 2(z + 3)z + 2y - E)] / 2.

Đặt F = (z + 3)^2 - 2(z + 3)z + 2y - E, ta có:
x = [(z + 3) ± √F] / 2.

Để tìm giá trị của z, ta sẽ sử dụng điều kiện 4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0.

Thay x = [(z + 3) ± √F] / 2 vào phương trình trên, ta được:
4[(z + 3) ± √F]^2 / 4 + 2y^2 - 4[(z + 3) ± √F]y - 4[(z + 3) ± √F]z + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0
<=> (z + 3) ± √F^2 + y^2 - 2[(z + 3) ± √F]y - 2[(z + 3) ± √F]z + yz - 3y - 5z + 17 = 0
<=> (z + 3) ± F + y^2 - 2[(z + 3) ± √F]y - 2[(z + 3) ± √F]z + yz - 3y - 5z + 17 = 0
<=> (z + 3) ± F + y^2 - 2[(z + 3) ± √F]y - 2[(z + 3) ± √F]z + yz - 3y - 5z + 17 = 0.

Đặt G = (z + 3) ± F + y^2 - 2[(z + 3) ± √F]y - 2[(z + 3) ± √F]z + yz - 3y - 5z + 17, ta có:
G = 0.

Đây là một phương trình bậc hai đối với biến z. Ta sẽ giải phương trình này để tìm giá trị của z.

Sau khi tìm được giá trị của z, ta sẽ thay vào công thức x = [(z + 3) ± √F] / 2 để tìm giá trị của x.

Cuối cùng, ta tính được giá trị của S = (x-4)^2023 + (y-4)^2023 + (z-4)^2023.