Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 3. Tìm GTLN của Q = 1/(a^2 + b + c) + 1/(b^2 + a + c) + 1/(c^2 + a + b)

Để tìm giá trị lớn nhất của Q, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
[(a^2+b+c) + (b^2+a+c) + (c^2+a+b)] * [1/(a^2+b+c) + 1/(b^2+a+c) + 1/(c^2+a+b)] ≥ (1+1+1)^2 = 9

Do đó, ta có:
1/(a^2+b+c) + 1/(b^2+a+c) + 1/(c^2+a+b) ≥ 9 / [(a^2+b+c) + (b^2+a+c) + (c^2+a+b)]

Vì a, b, c là các số dương và a+b+c ≥ 3, nên (a^2+b+c) + (b^2+a+c) + (c^2+a+b) ≥ 3^2 + 3 = 12

Vậy, ta có:
1/(a^2+b+c) + 1/(b^2+a+c) + 1/(c^2+a+b) ≥ 9/12 = 3/4

Vậy, giá trị lớn nhất của Q là 3/4.