Để chứng minh a) BE = CF, ta sẽ sử dụng định lí đồng quy của tam giác.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC. Ta cũng có góc BAC được chia đều bởi đường thẳng MN, nên góc BAN = CAN.

Do đó, ta có tam giác BAN đồng quy với tam giác CAM (do có hai góc bằng nhau và cạnh chung AB = AC).

Theo định lí đồng quy, ta có BA/AN = CA/AM.

Vì BM = MC, nên AM = AN.

Từ BA/AN = CA/AM, ta có BA/AN = CA/AN.

Do đó, BA = CA.

Vậy, ta có BE = CF.

Để chứng minh b) AE = (AB + AC) / 2, ta sẽ sử dụng định lí phân giác.

Vì N là điểm trên tia phân giác của góc BAC, nên ta có góc BAN = CAN.

Do đó, ta có tam giác BAN đồng quy với tam giác CAM (do có hai góc bằng nhau và cạnh chung AB = AC).

Theo định lí phân giác, ta có BA/AN = CA/AM.

Vì BM = MC, nên AM = AN.

Từ BA/AN = CA/AM, ta có BA/AN = CA/AN.

Do đó, BA = CA.

Vậy, ta có AE = (AB + AC) / 2.

Hình vẽ minh họa:

```
B
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A-------N-------C
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
M
```