Cho đường tròn tâm O đường kính AB

Để chứng minh a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh góc BFI = góc BEI và góc EFI = góc EBI.

Vì CD vuông góc với AB tại I, nên góc BCI = 90°. Mà góc BCI = góc BEI (do BC là tiếp tuyến của đường tròn tại B), nên góc BEI = 90°.

Tương tự, ta có góc EFI = 90° (do CD vuông góc với AB tại I), và góc EBI = 90° (do BC là tiếp tuyến của đường tròn tại B).

Vậy ta có góc BFI = góc BEI và góc EFI = góc EBI, suy ra tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Để chứng minh b) AE.AF = 2AC, ta sử dụng định lí Pappus.

Theo định lí Pappus, ta có: AE.AF = AC.AD + EC.EF.

Vì AC là đường kính của đường tròn, nên AC = AD.

Vì tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn, nên góc BFI = góc BEI và góc EFI = góc EBI.

Vậy ta có: EC.EF = BC.BI (do tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn) = AC.BI (do BC là tiếp tuyến của đường tròn tại B).

Từ đó, ta có: AE.AF = AC.AD + AC.BI = AC(AD + BI) = AC(AB) = 2AC.

Vậy ta đã chứng minh được AE.AF = 2AC.