Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của đường tròn (O)

1) Ta có:
- Bx là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OB vuông góc với Bx.
- DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OC vuông góc với DC.
- Do đó, OB và OC cùng vuông góc với cùng một đường DC nên OB // OC.
- Vì OB = OC (bằng bán kính đường tròn) nên tứ giác OBCD là hình bình hành.
- Do đó, OB = CD và OD = BC.
- Ta có OB = CD = R nên tứ giác OBCD là hình vuông.
- Vậy, tứ giác BOCĐ là hình chữ nhật.
- Mà đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật luôn tồn tại nên ta có B, O, C, D cùng thuộc một đường tròn.

2) Ta có:
- Tứ giác AODE là tứ giác nội tiếp (do AD là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Vì tứ giác AODE nội tiếp nên góc ODE = góc OAE (cùng chắn cung AE trên đường tròn (O)).
- Góc OAE = góc OCE (cùng chắn cung AC trên đường tròn (O)).
- Vậy, góc ODE = góc OCE.
- Tứ giác ODCD là tứ giác nội tiếp (do DC là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Vậy, góc ODC = góc OCD.
- Mà góc ODC = góc ODE + góc EDC và góc OCD = góc OCE + góc ECD.
- Từ đó suy ra góc EDC = góc ECD.
- Vậy, tứ giác EDCD là tứ giác cân.
- Mà tứ giác EDCD là tứ giác nội tiếp (do DC là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Vậy, DE = DC.
- Ta có DA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc DAE = góc DCE (cùng chắn cung AC trên đường tròn (O)).
- Vậy, tứ giác DACE là tứ giác nội tiếp.
- Từ đó suy ra góc DCE = góc DAE.
- Mà góc DCE = góc DCA + góc ACE và góc DAE = góc DCA + góc ACD.
- Từ đó suy ra góc ACE = góc ACD.
- Vậy, tứ giác DACE là tứ giác cân.
- Mà tứ giác DACE là tứ giác nội tiếp (do AD là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Vậy, DA = DE.
- Từ đó suy ra DC × DA = DC × DE = DC².

3) Ta có:
- Vì tứ giác OBCD là hình vuông nên OB // CD.
- Mà OB // CD nên OBDC là tứ giác bổ xung.
- Vậy, CB4 = HDB (do CB4 là đường chéo của tứ giác OBDC).
- Ta có OB = CD = R nên tứ giác OBCD là hình vuông.
- Mà I là trung điểm của DH nên DI = IH.
- Vậy, tứ giác DIOH là hình bình hành.
- Mà tứ giác DIOH là hình bình hành nên DI // OH.
- Vậy, DI // OH.
- Mà DI = IH nên tứ giác DIHO là hình vuông.
- Vậy, góc DIO = 90°.
- Mà góc DIO = góc DFO (cùng chắn cung DO trên đường tròn (O)).
- Vậy, góc DFO = 90°.
- Mà góc DFO = góc DAF (cùng chắn cung DF trên đường tròn (O)).
- Vậy, góc DAF = 90°.
- Vậy, ba điểm A, H, F thẳng hàng.