Cho tam giác ABC vuông tại A

a) Ta có BM = BC, suy ra tam giác BMC cân tại B. Do đó, tia phân giác của góc BMC cắt BC tại điểm H sao cho BH = HC. Khi đó, ta có BH = HC và BM = BC, suy ra tam giác BHC đều.

Gọi I' là trung điểm của AH. Ta sẽ chứng minh I' trùng với I.

Vì tam giác BHC đều, nên góc BHC = 60 độ. Góc BHI' = góc BHC/2 = 30 độ.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Góc BAI' = góc BAC/2 = 45 độ.

Vì góc BHI' = góc BAI', nên tam giác BHI' cân tại B. Do đó, BI' = I'B.

Vì I' là trung điểm của AH, nên AI' = I'H.

Vậy, ta có BI' là trung trực của AH và AH // MC.

b) Ta có AI là tia phân giác của góc ABC, nên góc BAI = góc IAC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.

Vậy, góc BAI = góc IAC = 45 độ.

Vì tam giác BHC đều, nên góc BHC = 60 độ.

Gọi góc KAH = x độ.

Vì góc BAI = 45 độ và góc BHC = 60 độ, nên góc BAH = 45 - x độ và góc BHC = 60 - x độ.

Vì BI là trung trực của AH, nên góc BHI = góc BAH = 45 - x độ.

Vì tam giác BHC đều, nên góc BHI = góc BHC = 60 - x độ.

Vậy, ta có góc BHI = góc BHC, suy ra tam giác BHI đồng dạng với tam giác BHC.

Do đó, ta có BH/BI = BC/BH.

Từ đó, ta có BH^2 = BC * BI.

Vì BH = HC, nên HC^2 = BC * BI.

Vì tam giác BHC đều, nên HC = BC.

Từ đó, ta có BC^2 = BC * BI.

Vì BC ≠ 0, nên BC = BI.

Vậy, ta có BI = BC.

Vì BI = BC và AH // MC, nên ta có AK + KH = CM.

c) Góc KAH = 60 độ.

Vì tam giác BHC đều, nên góc BHC = 60 độ.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.

Vậy, góc ABC = góc BAC - góc BAH = 90 - (60 + 60) = -30 độ.

Vì góc ABC không thể là -30 độ, nên không có giá trị của góc KAH thỏa mãn điều kiện góc KAH = 60 độ.