Cho đa thức sau:

a. Để rút gọn đa thức A, ta cần tìm ước chung lớn nhất của các hệ số của đa thức tử và mẫu.

Đa thức tử: 2x^3 - 2x^2
Đa thức mẫu: x^3 - x^2 + x - 1

Ta thấy rằng 2 là ước chung của các hệ số của đa thức tử và mẫu, vì vậy ta có thể rút gọn đa thức bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2:

A = (2x^3 - 2x^2) / (x^3 - x^2 + x - 1)
= 2(x^3 - x^2) / (x^3 - x^2 + x - 1)

b. Để tính A khi x = 2, ta thay x = 2 vào đa thức đã rút gọn:

A = 2(2^3 - 2^2) / (2^3 - 2^2 + 2 - 1)
= 2(8 - 4) / (8 - 4 + 2 - 1)
= 2(4) / (5)
= 8/5

Vậy A = 8/5 khi x = 2.

c. Để chứng tỏ A luôn dương với mọi x không bằng 1, ta cần chứng minh rằng đa thức tử luôn dương và đa thức mẫu luôn dương với mọi x không bằng 1.

Đa thức tử: 2x^3 - 2x^2
Đa thức mẫu: x^3 - x^2 + x - 1

Đa thức tử là một đa thức bậc 3 với hệ số dương, vì vậy nó luôn dương với mọi x.

Đa thức mẫu có thể viết lại thành (x^3 - x^2) + (x - 1). Ta thấy rằng x^3 - x^2 là một đa thức bậc 3 với hệ số dương, và x - 1 là một đa thức bậc 1 với hệ số âm. Vì vậy, đa thức mẫu có thể có các nghiệm âm, nhưng không thể có nghiệm bằng 1. Do đó, đa thức mẫu luôn dương với mọi x không bằng 1.

Vì đa thức tử và đa thức mẫu đều dương với mọi x không bằng 1, nên A = (2x^3 - 2x^2) / (x^3 - x^2 + x - 1) cũng luôn dương với mọi x không bằng 1.