Để chứng minh AD = EH, AE = DH và AH = DE, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và các định lí về tam giác vuông.

Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
AB² = AH² + BH² (định lí Pythagoras)
AC² = AH² + CH² (định lí Pythagoras)

Vì HD vuông góc với AB tại D, ta có:
AD² = AH² + DH² (định lí Pythagoras)

Vì HE vuông góc với AC tại E, ta có:
AE² = AH² + EH² (định lí Pythagoras)

So sánh các phương trình trên, ta có:
AB² - AC² = AD² - AE²
(BH² - CH²) = (DH² - EH²)

Vì BH = CH (vì tam giác ABC vuông tại A), ta có:
DH² - EH² = 0
DH² = EH²

Từ đó, ta suy ra AD = EH.

Tương tự, ta có:
AB² - AC² = AD² - AE²
(BH² - CH²) = (DH² - EH²)

Vì BH = CH (vì tam giác ABC vuông tại A), ta có:
AD² - AE² = 0
AD² = AE²

Từ đó, ta suy ra AE = DH.

Cuối cùng, ta có:
AB² - AC² = AD² - AE²
(BH² - CH²) = (DH² - EH²)

Vì BH = CH (vì tam giác ABC vuông tại A), ta có:
AB² - AC² = 0
AB² = AC²

Từ đó, ta suy ra AB = AC.

Vì tam giác ABC vuông tại A và AB = AC, ta có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Vì vậy, ta có AH = DE.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng AD = EH, AE = DH và AH = DE.