Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức Newton về tổng các lũy thừa của nghiệm.

Đầu tiên, ta có:
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 4 + 2(xy + yz + zx)

Vì x + y + z = 0, nên ta có:
(xy + yz + zx) = -2

Tiếp theo, ta có:
(x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) = 0

Mở rộng biểu thức này, ta có:
x^3 + y^3 + z^3 + 3(xy + yz + zx)(x + y + z) + 6xyz = 0

Thay giá trị của xy + yz + zx và x + y + z vào, ta có:
x^3 + y^3 + z^3 - 6xyz = 0

Từ đây, ta có thể suy ra:
x^3 + y^3 + z^3 = 6xyz

Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của x^4 + y^4 + z^4:
(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (x^4 + y^4 + z^4) + 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)

Thay giá trị của x^2 + y^2 + z^2 và xy + yz + zx vào, ta có:
(x^4 + y^4 + z^4) + 2(-2) = 4(x^4 + y^4 + z^4)

Từ đó, ta suy ra:
x^4 + y^4 + z^4 = 8

Vậy giá trị của biểu thức x^4 + y^4 + z^4 là 8.