a) Ta có MB = MD và BM = BM (trivial). Nên tam giác MBM' và MDM' là hai tam giác cân cùng cạnh đáy. Vì vậy, ta có góc M'BM = góc MDM'.

Tương tự, ta có góc M'AM = góc MCM'.

Vì tam giác ABC cân tại B, nên góc M'BM = góc M'AM.

Do đó, ta có góc MDM' = góc MCM'.

Vậy tam giác AMB = tam giác CMD.

b) Ta có MB = MD và BM = BM (trivial). Nên tam giác MBM' và MDM' là hai tam giác cân cùng cạnh đáy. Vì vậy, ta có M'B = M'D.

Vì tam giác ABC cân tại B, nên BM' = BM.

Do đó, ta có M'B = M'D và BM' = BM.

Vậy tam giác M'BM = tam giác M'DB.

Từ đó, ta có góc M'BM = góc M'DB.

Vì góc M'BM = góc M'AM (vì tam giác AMB = tam giác CMD), nên góc M'DB = góc M'AM.

Vậy tam giác M'AM = tam giác M'DB.

Do đó, ta có AM' = DB.

Từ đó, ta có AM' + AD = DB + AD.

Vì AM' + AD = AM + MD (vì M' là trung điểm của AC), nên AM + MD = DB + AD.

Vì AM + MD = AB (vì M là trung điểm của AC), nên AB = DB + AD.

Vì AB = BC (vì tam giác ABC cân tại B), nên DB + AD = BC.

Từ đó, ta có AD = BC.

c) Ta có góc M'BM = góc MDM' (vì tam giác AMB = tam giác CMD).

Vì góc M'BM = góc M'AM (vì tam giác AMB = tam giác CMD), nên góc M'AM = góc MDM'.

Vậy tam giác M'AM = tam giác MDM'.

Do đó, ta có AM' = DM'.

Từ đó, ta có góc M'AE = góc M'DF (vì tam giác M'AE = tam giác M'DF).

Vì góc M'AE = góc M'AC (vì tam giác M'AE vuông), nên góc M'DF = góc M'AC.

Vậy tam giác M'AC = tam giác M'DF.

Do đó, ta có góc M'AC = góc M'DF.

Vì góc M'AC = góc M'BC (vì tam giác M'AC vuông), nên góc M'DF = góc M'BC.

Vậy tam giác M'BC = tam giác M'DF.

Từ đó, ta có BC = DF.

Vì M' là trung điểm của AC, nên M'A = M'C.

Vì M' là trung điểm của AC, nên M'D = M'B.

Vì góc M'AE = góc M'DF (vì tam giác M'AE = tam giác M'DF), nên góc M'EA = góc M'FD.

Vì góc M'EA = góc M'CA (vì tam giác M'AE vuông), nên góc M'FD = góc M'CA.

Vậy tam giác M'CA = tam giác M'FD.

Từ đó, ta có góc M'CA = góc M'FD.

Vì góc M'CA = góc M'CB (vì tam giác M'CA vuông), nên góc M'FD = góc M'CB.

Vậy tam giác M'CB = tam giác M'FD.

Từ đó, ta có CB = FD.

Vì CB = DF và BC = DF (vì tam giác ABC cân tại B), nên CB = BC.

Vậy tam giác CEF cân tại E.

Vì góc CEF = góc CFE (vì tam giác CEF cân tại E), nên góc CEF = góc CFE.

Vì góc CEF = góc CEA (vì tam giác CEF vuông), nên góc CFE = góc CEA.

Vậy tam giác CEA = tam giác CFE.

Do đó, ta có góc CEA = góc CFE.

Vì góc CEA = góc CEB (vì tam giác CEA vuông), nên góc CFE = góc CEB.

Vậy tam giác CEB = tam giác CFE.

Từ đó, ta có CE = EF.

Vì CE = EF và AC = AF (vì tam giác ABC cân tại B), nên CE = AC.

Vậy EF // AC.