Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2y^2 = 4x^2y - y^3 - 4x^2 + 3y^2 - 1, ta có thể sử dụng phương pháp SOS (Separation of Variables).

Đầu tiên, ta sắp xếp lại phương trình để có dạng: x^2y^2 - 4x^2y + y^3 + 4x^2 - 3y^2 + 1 = 0.

Tiếp theo, ta thực hiện phân tích thành tích và tổng của các thành phần của phương trình:
(x^2y^2 - 4x^2y + 4x^2) + (y^3 - 3y^2 + 1) = 0.

Đặt A = x^2y^2 - 4x^2y + 4x^2 và B = y^3 - 3y^2 + 1, ta có:
A + B = 0.

Tiếp theo, ta thực hiện phân tích A và B thành tích và tổng của các thành phần:
(x^2y^2 - 4x^2y + 4x^2) = (xy - 2x)^2 và (y^3 - 3y^2 + 1) = (y - 1)(y^2 - 2y - 1).

Vậy, phương trình ban đầu có thể được viết lại thành:
(xy - 2x)^2 + (y - 1)(y^2 - 2y - 1) = 0.

Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần xét từng thành phần của nó.

Thành phần thứ nhất: (xy - 2x)^2 = 0.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi xy - 2x = 0, hay x(y - 2) = 0.
Vậy, ta có hai trường hợp:
1. x = 0, khi đó phương trình trở thành (0y - 2(0))^2 + (y - 1)(y^2 - 2y - 1) = 0.
Kết quả là y = 1 hoặc y = -1.
2. y - 2 = 0, khi đó phương trình trở thành (2x - 2)^2 + (y - 1)(y^2 - 2y - 1) = 0.
Kết quả là x = 1 hoặc x = -1.

Thành phần thứ hai: (y - 1)(y^2 - 2y - 1) = 0.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi y - 1 = 0 hoặc y^2 - 2y - 1 = 0.
Vậy, ta có hai trường hợp:
1. y - 1 = 0, khi đó phương trình trở thành (xy - 2x)^2 + (0)(y^2 - 2y - 1) = 0.
Kết quả là y = 1.
2. y^2 - 2y - 1 = 0, khi đó phương trình trở thành (xy - 2x)^2 + (y - 1)(0) = 0.
Kết quả là không có nghiệm.

Tổng kết, phương trình ban đầu có các nghiệm nguyên là (0, 1), (0, -1), (1, 1) và (-1, 1).