Để chứng minh tam giác \( AKI \) đồng dạng với tam giác \( ABC \), chúng ta cần chứng minh một cặp góc trong hai tam giác này bằng nhau.

Gọi \( \angle A \) là góc tại đỉnh của tam giác \( ABC \), và \( \angle KAI \) là góc tại đỉnh của tam giác \( AKI \).

Ta có:

1. Trong tam giác \( ABC \):
   - \( \angle A \) là góc vuông.
   - \( \angle HAI \) là góc vuông (do \( AH \) là đường cao).
   - Vậy \( \angle AHI = 90^\circ \).

2. Trong tam giác \( AKI \):
   - \( \angle KAI \) là góc vuông (do \( AI \) là đường cao).
   - \( \angle HIK \) là góc vuông (do \( HI \) là đường cao).
   - Vậy \( \angle KHI = 90^\circ \).

Từ hai quan sát trên, ta thấy rằng \( \angle AHI = \angle KHI \).

Do đó, theo Định lí góc đồng dạng, ta có tam giác \( AKI \) đồng dạng với tam giác \( ABC \).

Khi hai tam giác này đồng dạng, tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng bằng nhau. Do đó:

\[ \frac{AI}{AB} = \frac{AK}{AC} \]

Từ phương trình trên, ta nhân cả hai vế với \( AB \), ta được:

\[ AI \cdot AB = AK \cdot AC \]

Vậy, ta đã chứng minh được \( AI \cdot AB = AK \cdot AC \).