a) Ta có:
$\widehat{AIK} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AI)
$\widehat{AED} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AE)
$\widehat{IAK} = \widehat{DAE}$ (cùng chắn nội tiếp trong hình vuông ABCD)
$\widehat{AIK} = \widehat{AED}$ (do cùng là góc vuông)
Vậy ta có $\triangle AIK \sim \triangle AED$.

b) Ta có $\triangle AIK \sim \triangle AED$, suy ra:
$\frac{AE}{AI} = \frac{ED}{IK}$
$\Rightarrow AE^2 = ED.IK$

c) Ta có $AB = 12$ cm, $BI = 9$ cm. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AIB, ta có:
$AI^2 = AB^2 + BI^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$
$\Rightarrow AI = 15$ cm

Vì $\triangle AIK \sim \triangle AED$, nên ta có:
$\frac{AI}{AE} = \frac{IK}{ED}$
$\Rightarrow \frac{15}{AE} = \frac{IK}{12}$
$\Rightarrow AE = \frac{12}{15} \times IK = \frac{4}{5} \times IK$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AIE, ta có:
$AI^2 = AE^2 + EI^2$
$15^2 = \left(\frac{4}{5} \times IK\right)^2 + EI^2$
$225 = \frac{16}{25} \times IK^2 + EI^2$
$EI^2 = 225 - \frac{16}{25} \times IK^2$
$EI = \sqrt{225 - \frac{16}{25} \times IK^2}$

Vì $EI = IK$, nên ta có:
$IK = \sqrt{225 - \frac{16}{25} \times IK^2}$
$IK^2 = 225 - \frac{16}{25} \times IK^2$
$\frac{41}{25} \times IK^2 = 225$
$IK^2 = \frac{225 \times 25}{41}$
$IK = \sqrt{\frac{225 \times 25}{41}}$
$IK = \frac{75}{\sqrt{41}}$

Vậy $BK = BI - IK = 9 - \frac{75}{\sqrt{41}}$ cm và $AK = AI - IK = 15 - \frac{75}{\sqrt{41}}$ cm.