Cho tam giác ABC vuông tại A tia phân giác của B cắt AC tại D kẻ DH vuông góc BC (H thuộc BC)

Giải:

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên AB = BC. Gọi E là giao điểm của tia phân giác của B và AC. Khi đó, ta có tam giác ABE đồng dạng tam giác ACD (theo góc). Do đó, ta có:

\[\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \Rightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD} \Rightarrow AB \cdot CD = BC \cdot AC\]

Do tam giác ABC vuông tại A nên \(BC^2 = AB \cdot AC\). Từ đây suy ra \(AB = BC = BH\).

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên AD là đường cao của tam giác ABC. Do đó, ta có \(DC > AD\).

c) Ta có \(BH = AB\). Khi đó, ta có tam giác BHD cân tại B (do BH = BD). Gọi I là giao điểm của BA và HD. Ta có \(BI = BH = BD\), suy ra tam giác BIC cân tại B.

d) Gọi M là trung điểm của BC. Ta có BM = MC. Từ a), ta có AB = BH. Do đó, ta có tam giác ABH đồng dạng tam giác MBC (theo góc). Khi đó, ta có:

\[\frac{AB}{BH} = \frac{MC}{BC} \Rightarrow \frac{AB}{AB} = \frac{MC}{BC} \Rightarrow MC = BC\]

Do đó, ba điểm B, D, M thẳng hàng.