Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C = 30°. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Kẻ ED vuông góc với BC tại E

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Tia phân giác của góc B cắt AC tại D nên ta có: \(\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = 30^\circ\).

Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có: \(AB = AC \cdot \sin \angle BAC = AC \cdot \sin 60^\circ = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy ta có: \(AB = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Gọi E là giao điểm của BD và AC, ta có: \(\angle ABE = \angle ABC + \angle CBE = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ\).

Do đó, tam giác ABE cũng là tam giác đều, nên ta có: \(AB = BE\).

Vậy ta có: \(AB = BE = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\), điều cần chứng minh.

b) Ta có: \(\angle ABD = \angle ABE = 60^\circ\).

Vậy tam giác ABD cũng là tam giác đều, nên ta có: \(AB = BD\).

Do đó, BD là trung trực của AE, điều cần chứng minh.

c) Gọi M là giao điểm của BA và DE, ta có: \(\angle BDM = \angle BDA + \angle ADM = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\).

Vậy tam giác BDM vuông tại D, nên ta có: \(DM = BD \cdot \sin \angle BDM = BD \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} BD\).

Ta cũng có: \(DC = AC \cdot \cos \angle BAC = AC \cdot \cos 60^\circ = AC \cdot \frac{1}{2}\).

Do BD là trung trực của AE nên ta có: \(BD = 2DM\).

Vậy ta có: \(DM = DC\), điều cần chứng minh.

d) Gọi F là giao điểm của DE và BC, ta có: \(\angle EDF = \angle EDC + \angle CDF = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\).

Do tam giác EDF là tam giác đều nên ta có: \(DE = DF = EF\).

Vậy ta có: \(DE = \frac{1}{3} EM\), điều cần chứng minh.