Để chứng minh các phần a) và b), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường tròn.

a) Ta có:
- Vì BH vuông góc với AC và CH vuông góc với AB nên H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Do đó, ta có \( \angle BHC = 180^\circ - \angle BAC = \angle BEC \) (cùng chắn cung BC).
- Tương tự, ta có \( \angle BHF = \angle BEF \).
- Vậy tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
- \( \angle BFA = 90^\circ - \angle BAC = \angle BHA \) (do AH là đường cao của tam giác ABC).
- Vậy tứ giác BFHA là tứ giác nội tiếp.
- Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác BFHA, ta có: \( FA \cdot BH + FH \cdot AB = FB \cdot AH \).
- Nhưng ta cũng có: \( FA \cdot BH = FC \cdot BE \) (do tứ giác BEHF là tứ giác nội tiếp).
- Tương tự, ta có: \( FB \cdot AH = FC \cdot AE \).
- Kết hợp các công thức trên, ta được: \( FC \cdot BE + FH \cdot AB = FC \cdot AE \).
- Tương tự, ta cũng có: \( FC \cdot BE + FH \cdot AB = FC \cdot AE \).
- Từ đó suy ra: \( FA \cdot FH = FB \cdot FC \).

Để chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân, ta sẽ sử dụng tính chất của điểm đối xứng qua đường thẳng.

- Vì K là điểm đối xứng của H qua BC nên ta có: \( \angle BKC = \angle BHC = 180^\circ - \angle BAC = \angle BIC \) (cùng chắn cung BC).
- Tương tự, ta cũng có: \( \angle BIK = \angle BCK = \angle BAC \).
- Vậy tứ giác BIKC là hình thang cân.