Cho đường chòn (O) dây cung BC ( BC không là đường kính ) . Điểm A di động trên cung nhỏ BC ( A khác B và C) ; độ dài đoạn AB khác AC) . kẻ đường kính AA' của đường chòn (O), D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Hai điểm E,F lần lượt là chân ..

Ta có:
- Vì A di chuyển trên cung nhỏ BC nên góc BAC là góc nhọn.
- Góc BDC = góc BAC (cùng chắn cung BC)
- Góc BDC = góc BAC = 90 độ (do AD vuông góc BC)
=> Tam giác BDC vuông tại D.

- Ta có góc BAE = góc BAC (cùng chắn cung BC)
- Góc BAE = góc BAC = 90 độ (do AE vuông góc BC)
=> Tam giác BAE vuông tại E.

- Tương tự, ta chứng minh được tam giác CAF vuông tại F.

1/ Ta có:
- Góc BDE = góc BAE (cùng chắn cung BA)
- Góc BDE = góc BAE = 90 độ (do DE vuông góc AC)
=> Tam giác BDE vuông tại E.
=> Bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

2/ Ta có:
- BD là đường cao trong tam giác BAC nên BD = AC * sin(BAC)
- AD là đường cao trong tam giác BAC nên AD = AC * cos(BAC)
- A'C là đường cao trong tam giác BAA' nên A'C = AA' * sin(BAA')
=> BD * AC = AD * A'C

3/ Ta có:
- Góc BDE = 90 độ (đã chứng minh ở câu 1)
- Góc BAC = góc BAE = góc BDE (cùng chắn cung BA)
=> DE vuông góc với AC.

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.