Để chứng minh IB < IA < IC, ta sẽ sử dụng định lí cosin trong tam giác.

Gọi D là giao điểm của đường thẳng IB với AC. Ta có:

- Trong tam giác AIB: cos(AIB) = (AB^2 + AI^2 - IB^2) / (2*AB*AI)
- Trong tam giác BIC: cos(BIC) = (BC^2 + BI^2 - IC^2) / (2*BC*BI)

Vì I là giao điểm của các tia phân giác của góc A và B nên ta có: AIB = BIC = x (giả sử).

Do đó, ta có:

cos(x) = (AB^2 + AI^2 - IB^2) / (2*AB*AI) = (BC^2 + BI^2 - IC^2) / (2*BC*BI)

=> AB^2 + AI^2 - IB^2 = BC^2 + BI^2 - IC^2

=> AI^2 - IB^2 = BI^2 - IC^2

=> AI^2 + IC^2 = IB^2 + BI^2

=> AI^2 + IC^2 = IB^2 + BI^2 + 2*IB*BI*cos(x)

Vì cos(x) < 1 nên ta có: AI^2 + IC^2 < IB^2 + 2*IB*BI

=> AI^2 + IC^2 < (IB + BI)^2

=> AI^2 + IC^2 < IB^2 + 2*IB*BI + BI^2

=> AI^2 + IC^2 < IB^2 + 2*IB*BI + BI^2

=> AI^2 + IC^2 < (IB + BI)^2

=> AI^2 + IC^2 < IA^2

=> AI^2 + IC^2 < IA^2

=> AI < IA < IC

Vậy ta đã chứng minh được IB < IA < IC.