Cho đường tròn (O.R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O;R)( A.B là các tiếp điểm). Vẽ đường kinh AD, lấy I là trung điểm của đoạn thẳng MO, gọi C là hình chiếu vuông góc của I lên AO. Đường thẳng vuông góc với MO tại điểm I cắt đường thẳng OB tại điểm E

Để chứng minh CE vuông góc MD, ta sẽ chứng minh hai tam giác CEI và MDE đồng dạng.

Ta có:

• Trong tam giác OAI vuông tại A, ta có: CI là đường cao, nên \(CI^2 = AI \cdot CO\).


• Trong tam giác OMI vuông tại M, ta có: \(MI = \frac{MO}{2}\).

Do đó, ta có:

\(CI^2 = AI \cdot CO = \frac{MO}{2} \cdot CO\).

Hay \(CO = \frac{2 \cdot CI^2}{MO}\).

Giả sử \(CE = x\), ta có \(CO = x\).

Trong tam giác CIE vuông tại C, ta có:

\(\frac{CI}{CE} = \frac{CO}{CI} = \frac{x}{\frac{2 \cdot CI^2}{MO}} = \frac{MO \cdot x}{2 \cdot CI^2}\).

Trong tam giác MDE vuông tại M, ta có:

\(\frac{MD}{ME} = \frac{MO}{2 \cdot ME} = \frac{MO}{2 \cdot CI}\).

Do đó, hai tam giác CEI và MDE đồng dạng theo định lí đồng dạng tam giác.

Vậy, ta có CE vuông góc MD.