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Cho đường tròn O đường kính AB lấy H trên AB qua H kẻ dây CD vuông góc AB

Cho đường tròn O đường kính AB lấy H trên AB qua H kẻ dây CD vuông góc AB . Lấy điểm E thuộc cung BD nhỏ ( E khác B,D ) AE cắt CD tại F .
a)  Chứng minh tứ giác BFEH nội tiếp 
b)  Chứng minh CD²=4AH.HB 
c) Đường thẳng đi qua H song song với CE , cắt AE, BE lần lượt tại I và K . Gọi G là giáo điểm của DE và IK , M là trung điểm CE . chứng minh DI vuông góc với AE và CI,MG,BE đồng quy
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355
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a) Ta có:
$\angle BFE = \angle BFA + \angle AFE = \angle BHA + \angle AHD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Vậy tứ giác BFEH nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle AHB = 90^\circ$
$\angle AHD = \angle AFE$
$\Rightarrow \triangle AHD \sim \triangle AFE$
$\Rightarrow \frac{AH}{AD} = \frac{AE}{AF}$
$\Rightarrow AH \cdot AF = AD \cdot AE$
$\Rightarrow AH \cdot AF = AD \cdot (AD - DE)$
$\Rightarrow AH \cdot AF = AD^2 - AD \cdot DE$
$\Rightarrow AH \cdot AF = AD^2 - AD \cdot DC$
$\Rightarrow AH \cdot AF = AD^2 - AD^2$
$\Rightarrow AH \cdot AF = 0$
$\Rightarrow AH = 0$ hoặc $AF = 0$
Vì AH không thể bằng 0 nên ta có AF = 0
$\Rightarrow F \equiv B$
$\Rightarrow CD^2 = 4AH \cdot HB$

c) Ta có:
$\angle HIK = \angle HCE = \angle HBE$
$\Rightarrow IK \parallel BE$
Gọi N là trung điểm của IK, ta có:
$\frac{IG}{GN} = \frac{IH}{HM} = 2$
$\Rightarrow IG = 2GN$
$\Rightarrow IG = GN + GN = GN + NG = NG$
$\Rightarrow IG = NG$
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