Cho phương trình x^2-2(m-1)x+2m-3=0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1^3-x2^3=1

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần tính delta của phương trình x^2-2(m-1)x+2m-3=0:

Delta = (m-1)^2 - 4(2m-3) = m^2 - 2m + 1 - 8m + 12 = m^2 - 10m + 13

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần delta > 0, tức là:

m^2 - 10m + 13 > 0

Để giải phương trình bậc 2 trên, ta cần tìm các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:

(m-1)(m-13) > 0

Dễ dàng thấy rằng phương trình có nghiệm khi m thuộc khoảng (-∞, 1) hoặc (13, +∞).

Để tìm m để phương trình x^2-2(m-1)x+2m-3=0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1^3-x2^3=1, ta cần giải phương trình x1^3-x2^3=1 với x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có x1^3 - x2^3 = (x1 - x2)(x1^2 + x1x2 + x2^2) = 1

Vì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x^2-2(m-1)x+2m-3=0 nên ta có hệ phương trình:

{
x1 + x2 = 2(m-1)
x1x2 = 2m-3

Từ đó suy ra:

x1^2 + x1x2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - x1x2 = (2(m-1))^2 - (2m-3) = 4m^2 - 8m + 4 - 2m + 3 = 4m^2 - 10m + 7

Thay vào phương trình x1^3 - x2^3 = 1, ta được:

(x1 - x2)(4m^2 - 10m + 7) = 1

Với x1 - x2 = 2(m-1) - 2m + 3 = 2m - 2 - 2m + 3 = 1

Nên ta có:

4m^2 - 10m + 7 = 1

4m^2 - 10m + 6 = 0

2m^2 - 5m + 3 = 0

(m - 1)(2m - 3) = 0

m = 1 hoặc m = 3

Vậy m = 1 hoặc m = 3 để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1^3-x2^3=1.