Ta có tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC.

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó, ta có: OA = OB = OC = OD = OE (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Khi đó, ta có tam giác AOD và tam giác AOE cùng vuông tại A nên ta có:
∠OAD = ∠OAE = 90°.

Do đó, tứ giác OADE là tứ giác điều hòa.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường chéo IED ta có:
$\frac{AI}{IC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

Mà CE = CD nên ta có:
$\frac{AI}{IC} = \frac{DA}{BD}$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường chéo IBD ta có:
$\frac{AI}{IB} = \frac{DA}{DC}$

Từ hai biểu thức trên, ta suy ra:
$\frac{AI}{IC} = \frac{AI}{IB}$

Do đó, I là trung điểm của BC nên A, I, H thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh điều cần chứng minh.