Cho 2 đường thẳng (d1): y = (m^2 + m)x - m - 1

a) Để chứng minh rằng đường thẳng (d1) và (d2) luôn cắt nhau với mọi m, ta cần chứng minh rằng hệ phương trình của hai đường thẳng có nghiệm.

Hệ phương trình của hai đường thẳng (d1) và (d2) là:
y = (m^2 + m)x - m - 1
y = (m + 2)x

Để giải hệ phương trình này, ta cần giải hệ:
(m^2 + m)x - m - 1 = (m + 2)x

Simplifying, we get:
m^2x + mx - m - 1 = mx + 2x
m^2x - 2x - m - 1 = 0

Đây là một phương trình bậc hai theo x, với hệ số của x là m^2 - 2. Vì vậy, với mọi giá trị của m, phương trình này sẽ có nghiệm duy nhất x, do đó đường thẳng (d1) và (d2) sẽ luôn cắt nhau với mọi m.

b) Để tìm m nguyên sao cho đường thẳng (d1) cắt (d2) tại một điểm có hoành độ nguyên, ta cần giải hệ phương trình của hai đường thẳng với điều kiện y là số nguyên.

Hệ phương trình của hai đường thẳng (d1) và (d2) là:
y = (m^2 + m)x - m - 1
y = (m + 2)x

Để tìm điểm cắt có hoành độ nguyên, ta cần giải hệ phương trình với điều kiện y là số nguyên. Tức là ta cần tìm giá trị nguyên của x sao cho y cũng là số nguyên.

Với m = 1, ta có:
y = (1^2 + 1)x - 1 - 1
y = 2x - 2

Để y là số nguyên, ta cần chọn x sao cho 2x - 2 là số nguyên. Với x = 1, ta có y = 0, là số nguyên.

Vậy, m = 1 là một giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện đề bài.