a. Ta có CM là đường trung bình trong tam giác OAB nên theo định lí đường trung bình, ta có AM = MB. Do đó, tam giác ACM và tam giác HMB đồng dạng (có cạnh chung CM và góc ACM = góc HMB). Vậy, ta có góc AMH = góc ACM = góc HMB = góc CBM. Do đó, ta suy ra CM, AH và BM cùng thuộc một đường tròn.

b. Ta có góc CAM = góc CBM (vì tam giác ACM và tam giác CBM đồng dạng), góc CMA = góc CBK (vì tam giác CMA và tam giác CBK đồng dạng). Vậy, tam giác CAM và tam giác CBK đồng dạng. Từ đó, ta có CA/CB = CM/CK = CH/CK. Do đó, ta suy ra CM:CA.CB = CK.CH.

c. Ta có góc BKN = góc BKM (vì tam giác BKN và tam giác BKM đồng dạng), góc BKN = góc CMH (vì BNHM là tứ giác nội tiếp), góc CMH = góc CNH (vì CM//ON). Vậy, ta có góc BKM = góc CNH. Do đó, tam giác CNH và tam giác BKM đồng dạng. Từ đó, ta suy ra N thuộc nửa (O) và ON là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHK.