Để chứng minh điều cần chứng minh, ta sẽ chia 5 số a, b, c, d, e thành hai nhóm: nhóm các số có lũy thừa của 2 và nhóm các số có lũy thừa của 3.

Nhóm các số có lũy thừa của 2: a, b, c, d, e
Nhóm các số có lũy thừa của 3: không có số nào

Vì mỗi số trong 5 số a, b, c, d, e không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3, nên mỗi số trong nhóm có lũy thừa của 2 sẽ có số lũy thừa của 3 là 0.

Do đó, ta có thể viết mỗi số trong nhóm có lũy thừa của 2 dưới dạng 2^x và mỗi số trong nhóm có lũy thừa của 3 dưới dạng 3^y.

Ta có thể chọn 5 số a, b, c, d, e như sau:
a = 2^0 * 3^0 = 1
b = 2^1 * 3^0 = 2
c = 2^2 * 3^0 = 4
d = 2^0 * 3^1 = 3
e = 2^1 * 3^1 = 6

Trong 5 số trên, ta thấy rằng tích của hai số bất kỳ trong nhóm có lũy thừa của 2 là 1 số chính phương. Ví dụ: 1 * 4 = 4, 1 * 2 = 2, 4 * 6 = 24.

Vậy ta đã chứng minh được rằng trong 5 số nguyên dương a, b, c, d, e đôi một phân biệt không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3, tồn tại hai số mà tích của chúng là 1 số chính phương.